2019年度 鳥取県公立高校入試問題【数学】解説

平均27.3点(50点満点)

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大問1(小問集合)

(1)①  97.0%
-7+3-4
=-8

②  95.9%
1/3÷(-1/6)
=1/3×(-6)
=-2

③  85.8%
3/√3+4√3-√27
=√3+4√3-3√3
=2√3

④  91.4%
4(2x-1)-3(2x-3)
=8x-4-6x+9
=2x+5

⑤  75.1%
(-xy)2×10xy2÷5x2
=x22×10xy2÷5x2
=2xy4

(2)  75.6%
(3x-1)(4x+3)
=12x2+9x-4x-3
=12x2+5x-3

(3)  82.7%
2-2a
=(-3)2-2×(-3)
=9+6=15
*a(a-2)=-3×(-3-2)=15でも可。

(4)  87.3%
2-4x+3
=(x-1)(x-3)

(5)  77.7%
V=πr2h ←両辺を÷πr2して左右をひっくり返す。
h=V/πr2

(6)  91.4%
円周角定理から、∠BOC=70×2=140°
半径より、OB=OC→△OBCは二等辺。
∠x=(180-140)÷2=20°

(7)  78.2%
5x2+3-1=0
因数分解ができないので解の公式を適用。
x=(-3±√29)/10

(8)  31.5%!(部分点25.9%、無答16.8%)
整数の証明。
(2n+1)2+19
=4n2+4n+1+19
=4n2+4n+20
=4(n2+n+5)
nは整数なので、n2+n+5も整数だから、
4(n2+n+5)は4の倍数となる。

(9)  51.8%(部分点7.6%、無答15.7%)
合同の証明。レベルは易。
仮定よりAM=CM
この両端角が錯角(AD//BC)と対頂角で等しくなる。
一辺両端角相等から合同。

(10)  14.7%!(部分点14.7%、無答26.9%)
√2の作成。
1と√2といえば…直角二等辺三角形

①Aを通る、ℓに垂直な垂線を作図。
②Aを中心に4分の1円を描く。交点をP’とする。
③Oを中心にP’をℓ上に移動。交点がP。

大問2(標本調査)

(1)  79.7%
最頻値(モード)は、最も表れている値。
30~40点が多い。
必ず階級値で答える。→35点

(2)  37.1%(部分点36.5%)
階級の幅を10から5にチェンジすると、より詳細な分布状況が得られる。
ア:最頻値が57.5点に変わっている。×
イ:40点以上と40点未満の人数の結果は変わらない。×
ウ:最小値も最大値も変化しないので、範囲(レンジ)も変わらない。〇
 あくまで分布が詳しく見られるのであって、それそれの点数は変化しない
エ:点数は変化しないので、平均は変わらない。
 50人の中央値(メジアン)は25番目と26番目の平均で、これも変わらない。〇
ウ・エ


大問3(確率)

(1)  73.1%
確率なので、「必ず」「常に」といった断定はできない。
大数(たいすう)の法則から試行回数を増やすと、4分の1に近づいていく。

(2)  72.1%
そうたは、4枚から4を出す→1/4
よしこは、残りの3枚から2を出す→1/3
1/4×1/3=1/12

(3)  48.2%(部分点3.0%、無答11.2%)
解答では理由の記述が求められる。
奇数の確率と偶数の確率を計算して比べればOK。
◆奇数(そうたの勝利)
(1、2)(1、4)(2、3)(3、4)
および、これらの逆から8通り。
全体が4×3=12通りなので、8/12=2/3

◆偶数(よしこの勝利)
和が偶数は、全体から奇数をひけばいい。
12-8=4通り
4/12=1/3

そうたの勝率は2/3で、よしこの勝率は1/3だから、
そうたの方が勝ちやすくなる。
*和が偶数となるのは、奇数同士か偶数同士しかないのでパターンが少ない。

大問4(文字式)

(1)①  81.2%
200人の43%を求める。
200×43/100=86人

②  76.1%
1回目と2回目で、参加人数は200人で変わらない。
中級は8%増加したので、200×8/100=16人

(2)①ア:80.7%、イ:54.8%、ウ:28.4%!
誘導に従い、穴埋めしていく( ˘ω˘ )
文章を丁寧に読み込むこと!空欄に書くべき内容を外さないように。

全参加人数はA~C中学校の参加人数の和。
ア…x+y+200

2回目の上級のみ見る。
A校の43%は前問でだした86人。
B校はxの40%、C校はyの25%。
これらを合算すると、2回目上級コースの3校合計人数となる。
イ…40/100x+25/100y+86

iiなので、今度は1回目と2回目の中級コースを比較する。
A校は8%増加し、これは前問でだした16人。
B校は5%増、C校は15%増。
3校で60人増加したので、増加分で等式を作成する。
ウ…5/100x+15/100y+16(=60)

②  8.6%!(無答60.4%)
前問の正解が前提条件。
40/100x+25/100y+86=35/100(x+y+200)…①
5/100x+15/100y+16=60…②
うえの連立を解く。計算ミスに注意(;´・ω・)

5x-10y=-1600…①’
5x+15y=4400…②’
x=160、y=240


大問5(数量変化)

(1)  84.8%
y=axにA(2、8)を放り込む。
8=2a
a=4

(2)  61.9%
x=2のとき、y=8
x=8のとき、y=2
2≦y≦8

(3)①  22.8%!(部分点1.5%、無答35.0%)
問題文のおさらい。

Pはx軸上を毎秒1cmで進む。8秒後でCに止まり、動かない。
Qは①→②→③と動き、常にPの真上にくる
8≦t≦10では、③上をCに向かい、10秒後にPとQが出会う。

0<t≦2のとき、△OPQは底辺と高さがともに増えていくので、
その面積はy=ax2で増加する。
A(2、8)を代入。
8=22
a=2
y=2x2

xは時間t、yは△OPQの面積Sなので文字を置き換えること!
S=2t2

(2)  10.2%!(部分点26.9%、無答35.5%)
先に解答から。

0≦t≦2は、前問のS=2t2
(1、2)を通過するように書こう

問題は、Qが②上にあるとき(2≦t≦8)。
反比例はx座標とy座標の積が比例定数で一定
②:y=16/x
xy=16
xとyの積が常に16だから、S=xy÷2=8で一定。
2≦t≦8は横線になる。

(3)  6.1%!!(部分点11.2%、無答51.3%)
先ほどのグラフにS=5を追加。

1つ目は、S=2t2のところ。
5=2t2
t=±√(5/2)=±√10/2
t>0より、t=√10/2

2つ目は、三角形の相似を用いる。
VW=2×3/8=3/4
Wのt座標は、8+3/4=35/4
したがって、t=√10/2、35/4

大問6(関数)

(1)  79.7%
y=x-1にy=0を放り込む。
0=x-1
x=1

(2)  64.0%
2直線の交点座標は方程式で解く。
x-1=1/3x+3
x=6

y=6-1=5
P(6、5)

(3)  60.9%
A(1、0
)B(0、3)
△OABで三平方。
AB=√(12+32)=√10

(4)  19.8%!(部分点14.7%)
∠ABP=90°となる理由。
誘導があるのでありがたい。三平方の定理が成り立てばいい。

長方形を描くとわかりやすいかな?
BP=√(62+22)=
2√10
PA=√(52+52)=
5√2

AB=√10なので、
√102+2√102=5√22
すなわち、AB2+BP2=PA2という関係が成り立つので、
PAを斜辺、その反対側にある∠ABP=90°となる直角三角形。

(5)  2.0%!!(無答73.6%)
まずは図形を確認。

問題文からCとSの位置を確定する。
Cの座標を決めたい。
APが円の直径である点に注目。

直径に対する円周角は90°。
また、y=x-1は傾きが1なので45度線。
ここから、△ACPは45°-45°-90°の直角二等辺三角形となる
C(6、0)

CからAPに向けて垂線をひくと、円の中心であるOと交わる
なぜなら、∠OAC=45°であり、傾き1に対して直交する線分の傾きは-1、
つまり、45度に傾くので、
45°-45°-90°の直角二等辺(OA=OC;円の半径)になるから。
1:1:√2より、OA=OC=5×1/√2=5√2/2

Sを回転させたときの立体を想像する。
求めるべき立体は、半球から内部の円錐をひく
球の体積:4/3πr3
半球-円錐
=4/3π×(5√2/2)3×1/2-(5√2/2)2π×5√2/2×1/3
=(5√2/2)3π×2/3-(5√2/2)3π-1/3
=(5√2/2)3π×(2/3-1/3)
=125√2/4π×1/3
=125√2/12πcm3
式が複雑で計算力も問われる(;`ω´)
分配法則をうまく利用しよう。

得点分布がイイ感じばらけており、バランスの良い問題編成。
確率の記述も半分の生徒が正解している◎
グラフ問題は相似でシャッ!と攻略するのがオススメです。
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