2016年度 茨城県公立高校入試【数学】解説

平均48.9点
図形が難所。ラストは角の二等分線を利用。

資料問題も鍛えておく。
問題はコチラから→リセマムさん

大問1(計算)

(1)2-11=-9

(2)(-5)×(-3)+(ー2)2÷4
=15+1=16

(3)5/6+(-4/9)÷4/3
=5/6-1/3=1/2

(4)3(2x+y)-5(x+y)
=6x+3yー5x-5y
=x-2y

(5)√2×√6+3/√3
=2√3+√3=3√3

ここはいけるでしょう。全問正解で20点ゲット。

大問2(小問集合)

ここも全問正解したい。大問1と2だけで40点も稼げる。
(1)因数分解
2+8x+16=(x+4)2

(2)連立方程式
代入法でも加減法でも。x=-1、y=1

(3)解の公式
z=(-7±3√5)/2

(4)不等式
aが個数で、bが値段になっている。
300a+7b≦2500

(5)代入
因数分解してから代入する。
2-xy=x(x-y)
(3+√3)(3-√3)=9-3=6

大問3(小問複合2)

(1)135°
*∠AOC=90°、反対側が270°。
∠ABCは、この円周角なので、270÷2=135°

(2)73
2けたの自然数の十の位の数をxとおく。
10x+3=2(30+x)-1
x=7→2けたの自然数は73。

(3)6/25
全体は5×5=25通り。
素数は2、3、5だけ。
1は素数ではない!→(1、1)は除外
また、1以外のカードを2枚かけた積は素数ではなくなる。
よって、(1、2)(1、3)(1、5)とこれらの逆→6通り。
したがって、6/25

大問4(関数)

(1)y=-x+2
*A(2、0)、B(-2、4)を通る直線の式を求める。
右に4いって、下に4だから傾き-1。

(2)P(0、2√3)
*C(-6、0)
A・B・Cが円周上にくるので、とりあえず中心点がどこか探す。
3点が通る円の中心は、作図でもでてくる通り、各辺の垂直二等分線が交わる場所。
それをヒントに調べると、ACの中点、しかもBの真下。半径4とわかる。
中心をOとし、Oから半径4をy軸に向かって線を引く。
直角三角形ができる。三平方。42-22=12 →√12=2√3

大問5(相似)

(1)公式解答参照
*相似の証明。直角と対頂角が等しい=2角が等しい→∽

(2)√22
*△EBCに注目。∠ABC=45°なので、直角二等辺三角形。よって、EB=EC・・①
△FEB△AECに注目。仮定から、∠FEB=∠AED=90°・・②
前問の相似から、対応する角が等しいので、∠FBE=∠ACE・・③
①、②、③より、一辺と両端角が等しい→△FEB≡△AEC。
この合同関係に気づけるかどうか。
△FEB内で三平方→FE=√11
合同から、対応する辺であるAE=√11
△AEF内で三平方、√22

大問6(数量変化)

(1)5L
*文章題は情報整理がものをいう・・。
A:1Lで排水。3Lになると毎分2Lで増加、15Lで停止。
B:3Lで排水。3Lになると毎分2Lで増加、15Lで停止。
ありがたいことにグラフが提供されているので、Bも書き込み。
5分後は5Lになるはず。

(2)13分12秒
*水の量が等しくなるときは、グラフの交点。
12分後にAが給水し始めるが、このときBは10分後から排水している。
12分までBは6L排水、B残り9L。AとBの差は9-3=6L(グラフで確認)
A2Lで増加、B3L減少なので、1分で5Lずつ差が縮まる
6÷5=1.2分=1分12秒
12分+1分12秒=13分12秒



大問7(資料問題)

(1)a=14、b=56
*今年もやってまいりました、資料問題。
初見だと本番で戸惑うので、いくつか類題を解いて慣れておこう。
範囲が81→最大値-最小値=81
95-81=14、aはbより小さいので、aが最小値14。
bは平均を使う。平均60を基準とすると、
-5-46+5-21+21+28+12+35-25=+4
平均を60にならすには、-4をする。
よって、b=60-4=56

(2)57.5
*10個の標本なので、メジアンは5番目と6番目の平均
大きい順にならべると上から5つは、94、72、69、65、60。
ヒストグラムをみると、60以上が5つ、60未満が5つ。
60の下は55か、cかdが56以上59以下であればそちらになる。
しかし、cとdは決まらない→もし、c・dが56以上59以下であれば答えがでない。
よって、60の下は55。(60+55)÷2=57.5

詳しく検証します(´ㅂ`;)
c<d、40≦c<50、50≦d<60とおく。
平均との差を考えると、+14+11-17+36-28-3+7+2=+22
cとdで平均との差の合計を-22にしなければならない。
仮にcが最も小さい40と仮定すると、58-40=18 →平均との差は-18
dの平均との差は22-18=4となり、d=58-4=54となる。
つまり、cを最も小さい値にし、dを最も大きい値にしても、
56≦d≦59にはならないので、60の下は55になる

大問8(立体図形)

(1)12√2cm3
*底面積は正三角形。高さは3。
2√3×3×1/2×4√6×1/3=4√18=12√2cm3

(2)13:25
*難問。高校数学で習う、ある定理を知らないと厳しい。
△ADFも△OFEも断面AMO上にあるので△AMOを考える。
AMは3。Dは△ABCの重心である。
正三角形の各頂点から同じ長さ10cmを上に伸ばしOで交点、
Oから底面AMに垂直な線をおろすと、底面との交点が正三角形ABCの重心にあたる。
AD:DM=2:1。よって、AD=2cm、DM=1cm。
(これがわからなくても、△OAD内で三平方を使えば求められるはず)

他の辺の比も求めたい。そこで使うのが角の二等分線。

AMに平行でOを通る線と、AEの延長線との交点をGとおく。
△ADF∽△GOFとなり、DF:FO=2:10=1:5
また、△AME∽△GOEとなり、ME:EO=3:10

これで必要な情報がそろった。

おすすめはMFに補助線をひく
△ADFを2×1=2とおく。△ADF:△MDF=2:1、△MDF=1。
△MDF:△MFO=DM:FO=1:5、△MFO=5。
△FME:△FEO=ME:EO=3:10、△FEO=5×10/13=50/13
よって、△ADF:△OFE=2:50/13=26:50=13:25

覚えておこう↓

頂角の2等分線は、底辺をこのように内分します。
高校1年生で習います。証明方法は先の解法通り、平行線を作図して相似。
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