2021年度　香川県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均22.9点（前年比；－5.5点）
最高点50点、最低点０点
出題範囲の削減はなし。
問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（計算）

（１）
２－（－５）－４
＝２＋５－４＝３

（２）
３÷１/４×（－２²）
＝３×４×（－４）
＝－48

（３）
３（４ｘ－ｙ）＝６　←両辺を÷３
４ｘ－ｙ＝２
ｙ＝４ｘ－２

（４）
√12－９/√３
＝２√３－３√３
＝－√３

（５）
ｘｙ－６ｘ＋ｙ－６　←６同士でまとめられそう。
＝ｘｙ＋ｙ－６ｘ－６
＝ｙ（ｘ＋１）－６（ｘ＋１）
＝（ｘ＋１）（ｙ－６）

（６）
ｘ²＋５ｘ＋２＝０
解の公式を適用。ｘ＝（－５±√17）/２

（７）
絶対値は、数直線において原点０からの距離。
小さい順に、０→２→－３
イ→ウ→ア

大問２（図形）

（１）

三角形の内角から、∠ＡＯＤ＝180－（90＋20）＝70°
∠ＡＣＤは弧ＡＤに対する円周角だから、70÷２＝35°

（２）（ア）

ア：∠ＯＣＡ＝60°である
→仮に∠ＯＣＡ＝60°であれば、直角三角形ＯＡＣの辺の比は１：２：√３だが、
　ＣＡ：ＡＯ＝１：√３ではない。×
イ：面ＯＡＢ⊥面ＯＡＣ
→∠ＢＡＣ＝90°からいえる。〇
ウ：辺ＯＣ⊥面ＡＢＣ
→△ＯＡＣにおいて∠ＯＡＣ＝90°から、∠ＯＣＡ≠90°でいえない。×
エ：ＯＡ//ＣＤ
→ＯＡは面ＯＡＣ（もしくは面ＯＡＢ）上の、ＣＤは面ＯＢＣ上の線分である。
面ＯＡＣと面ＯＢＣは平行ではない。×
イ

（イ）

三角錘ＯーＡＢＣと三角錘ＤーＡＢＣは底面が△ＡＢＣで共通。
体積比は高さの比に相当する。
三角錐Ｏ―ＡＢＣの体積を【１】とすると、
ＤがＯＢの半分だから、三角錐Ｄ－ＡＢＣの体積は【１/２】。

三角錐Ｄ—ＢＣＰの体積は【１/３】だから、
三角錐Ｄ—ＡＰＣの体積は【１/２】－【１/３】＝【１/６】
これらの三角錐は高さが共通するので底面積の比が体積比になる。
△ＢＣＰ：△ＰＣＡ＝【１/３】：【１/６】＝２：１
△ＢＣＰと△ＰＣＡは高さが共通だから、底辺のＢＰ：ＰＣ＝②：①

△ＡＢＣで三平方→辺の比が１：２：√３の直角三角形でＡＢ＝４√３ｃｍ
ＢＰ＝４√３×②/③＝８√３/３ｃｍ

（３）

ＡＢ//ＥＣから錯角で∠ＢＥＣ＝●
△ＢＣＥは２つの底角が等しい二等辺三角形→ＣＥ＝３ｃｍ

△ＡＢＣは３：４：５の直角三角形→ＡＣ＝４ｃｍ
△ＡＢＤ∽△ＥＣＤより、ＡＤ：ＤＣ＝⑤：③
ＤＣ＝４×③/⑧＝３/２ｃｍ

△ＢＣＤで三平方→ＢＤ＝３√５/２ｃｍ
ＢＤ：ＤＥ＝⑤：③だから、
ＢＥ＝３√５/２×⑧/⑤＝12√５/５ｃｍ

大問３（小問集合）

（１）
階級値×度数の合計を10人で割る。
（0.5×３＋1.5×４＋2.5×２＋3.5×１）÷10
＝16÷10＝1.6ｋｍ

（２）
順番をつけて２枚取り出すから、₅Ｐ₂＝５×４＝20通り

ａ≧ｂとなる場合を数える。
ポイントは２枚ある１を１_A、１_Bに分けること。
ｂ＝１_Aのとき、ａは１_B、２、３、４の４枚。
ｂ＝１_Bのとき、ａは同じく４枚。
ｂ＝２のとき、ａは３、４の２枚。
ｂ＝３のとき、ａは４の１枚。
計11通り。
確率は11/20。

（３）（ア）
ｘ＝－１/３ｘ²において、
ｘ＝２のとき、最小値－４/３
ｘ＝０のとき、最大値０
－４/３≦ｙ≦０

（イ）

ｙ＝－１/３ｘ²にｘ＝－３を代入→Ｃ（－３、－３）
ＡＢはｘ軸に平行なので、Ａ座標とＢ座標はｙ軸について対称。
Ｂのｘ座標は３。

傾きが５/４→右に④すすむと、上に⑤あがる。
Ａ座標とＢ座標の距離６が④だから、
⑤＝６×⑤/④＝15/２
Ｂのｙ座標は、15/２－３＝９/２

ｙ＝ａｘ²にＣ（３、９/２）を代入。
９/２＝９ａ
ａ＝１/２

（４）
答案では求める過程も書く。

シールなしの場所を端に寄せて長方形にする。（頻出の手口）
この部分の面積は長方形の36％だから、10×20×36％＝72ｃｍ²

（20－４ｘ）（10－２ｘ）＝72
200－80ｘ＋８ｘ²＝72
８ｘ²－80ｘ＋128＝０　←すべてを÷８
ｘ²－10ｘ＋16
＝（ｘ－２）（ｘ－８）＝０

シールが貼られていない部分は残すので、横の長さは２ｘ＜10
ｘ＜５（ｘが５ｃｍ以上だとすべてにシールが貼られてしまう）
また、シールを貼るからｘは０より大きく、０＜ｘ＜５
よって、ｘ＝２

大問４（整数＆方程式）

（１）ア

高さで場合分け。
高さ６→底面は１×１
高さ３→１×２
高さ２→１×３
高さ１→１×６、２×３
以上、５通り。
ｐ＝５

イ

表中のｍ＝４をみると、ｎ＝４、９…。
平方数では？
ｎ＝16のときを試してみると、
高さ16→底面１×１
高さ８→１×２
高さ４→１×４、２×２
この時点で４通りでてしまうので×！

ｎ＝25のとき、
高さ25→底面１×１
高さ５→１×５
高さ１→１×25、５×５
ｍ＝４！
したがって、25が答えとなる。

＠余談＠
表を眺めると、ｎの値が素数のとき、ｍ＝２である。
たとえば、ｎ＝５のとき、高さは１or５で底面はそれぞれ１つずつしかないからｍ＝２になる。
ここから約数の数がポイントといえる。

ｎ＝３（素数）のとき、３の約数は〔１・３〕の２個。
高さ３→１×１、高さ１→１×３でｍ＝２

ｎ＝４のとき、４の約数は〔１・２、４〕の３個。
高さ４→１×１、高さ２→１×２、高さ１→１×４、２×２でｍ＝４
高さ１のときだけ２通りで、それ以外は１通りずつで４通りとなる。

ということは、約数が３個のときにｍ＝４になる。
約数が３個→素数×素数、すなわち、素数の平方数である。
（約数が１・素数・それ自身で３個）
ｎ＝４＝２×２
ｎ＝９＝３×３
３の次の素数は５、ｎ＝25のときｍ＝４となる。
５の次の素数は７、ｎ＝49のときｍ＝４となる。
次のｎは11の平方数121、その次は13の平方数169。その次は17の平方数289。

〇●●だけ３回→太郎３点
他は１回ずつだから、太郎は３＋４＋２＋０＝９点

イ
〇〇●が１回。
〇〇〇がａ回。
●●●がｂ回。
〇●●は、10－（１＋ａ＋ｂ）＝９－ａ－ｂ回

次郎の点数は０×ａ＋１×１＋２（９－ａ－ｂ）＋４ｂ
＝－２ａ＋２ｂ＋19点

ウ
答案では求める過程も記述する。
問題文がやけに長いが、状況は前問と同じである。
新たに追加された情報は『表の合計が12枚』『次郎は太郎より７点大きい』。

１つ目は表の合計で等式。
〇〇〇…ａ回
〇〇●…１回
〇●●…９－ａ－ｂ回
●●●…ｂ回
３ａ＋２＋（９－ａ－ｂ）＋０＝12
２ａ－ｂ＝１　…①

２つ目は点数の合計で等式。
太郎の得点は、４ａ＋２＋（９－ａ－ｂ）＋０＝３ａ－ｂ＋11点
次郎の得点は、前問より－２ａ＋２ｂ＋19点。

３ａ－ｂ＋11＋７＝－２ａ＋２ｂ＋19点
５ａ－３ｂ＝１　…②
①と②の連立を解くとａ＝２、ｂ＝３

大問５（図形の証明）

（１）
△ＦＧＨ∽△ＩＥＨの証明。

頻出のチョウチョウ型ゆえ、ここは絶対とること！
ＦＧ//ＥＩの錯角と対頂角で２角が等しく∽。

（２）
ＣＥ＝ＦＧの証明。

お互いが変な位置関係にある。
とくにＦＧを１辺とする三角形は△ＦＧＨだが、
ＥＣを１辺とする三角形とのつながりが見出せない。
こういう一筋縄ではいかない証明問題は、あいだに何かをはさむ場合が多い。
仮定より与えられたＤＥ＝ＢＧに着目。
奇妙な等辺を１辺とする三角形をつくる。

ＧＣに補助線。
ＤＥ＝ＢＧ、ＤＣ＝ＢＣ（正方形１辺）、∠ＥＤＣ＝∠ＧＢＣ（正方形内角）より、
２辺とあいだの角が等しく、△ＥＤＣ≡△ＧＢＣ
対応する辺で、ＣＥ＝ＣＧ
ここからＣＧ＝ＦＧにつなげたい…。

まだ使っていない『∠ＢＣＥの二等分線』を活用する。
∠ＦＣＥ＝∠ＦＣＢ（●）
対応する角から、∠ＥＣＤ＝∠ＧＣＢ（×）
ＡＧ//ＤＣより、錯角で∠ＦＣＤ＝∠ＣＦＧ（●×）
△ＧＦＣは２つの底角が等しく、二等辺三角形。
ＣＥ＝ＣＧ＝ＦＧとなり、ＣＥ＝ＦＧがいえる。