2023年度 香川県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均25.3点(前年比;-1.5点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1)
3+8÷(-4)
=3-2
=1

(2)
6×5/3-52
=10-25
-15

(3)
(x+2y)/2+(4x-y)/6
={3(x+2y)+(4x-y)
}/6
=(3x+6y+4x-y
)/6
=(7x+5y)/6

(4)
√8-√3(√6-√27) ←カッコ内を√3でくくる
=2√2-√3×√3(√2-√9)
=2√2-3(√2-3)
=2√2-3√2+9
=9-√2

(5)
(x+1)(x-3)+4
=x2-2x-3+4
=x2-2x+1
=(x-1)2

(6)
-x2+ax+21=0にx=3を代入。
-32+3a+21=0
3a=-12
a=-4

(7)
12を素因数分解すると、12=22×3
2の素因数を2つ、3の素因数を1つ以上含めば12の倍数である。

大問2(図形)

(1)

弧BCの円周角より、∠BECを∠BACに移しておく
直径ABに対する円周角→∠ACB=90°
△BCDで外角定理→∠CBD=60-35=25°
△ABCの内角から、∠BAC=180-(90+25)=65°

(2)ア

△DGH∽△DEFより、GH=5×9/12=15/4cm


三角柱の体積を求めるには高さが必要なので、表面積から求める。
側面積=表面積-底面積×2
=240-12×5÷2×2=180cm2

△ABCで三平方→辺の比が5:12:13の直角三角形、AC=13cm
側面積を展開すると、横の長さが5+12+13=30cmの長方形になる
長方形の縦(三角柱の高さ)は、180÷30=6cm
体積は、30×6=180cm3

(3)

↑この相似には敏感になっておきたい。
△AEDの内角である∠DAE=×、∠AED=とする(×+=90°)。
△DEFで外角定理、∠EDF=90-×
AD=DC、∠ADE=∠DCG、∠DAE=∠CDG(×)より、
1辺と両端角が等しく、△AED≡△DGC

△AEDで三平方→AE=√29cm
対応する辺は等しいから、DG=√29cm
いきなりHGを求めるのは無理そうなので、DG-DHから出せないか

AHに補助線
△ADHは等辺5cmの二等辺三角形。
AF⊥DH、共通辺AF→斜辺と他の1辺が等しい直角三角形で△ADF≡△AHF
DF=FH

△ADFの内角も―×―90°だから、辺の比は2:5:√29である
DH=5×④/〇√29=20√29/29cm
HG=√29-20√29/29=9√29/29cm


大問3(小問集合)

(1)
反比例;y=a/x
比例定数aはxとyの積で一定。(y=ax)
y=2×5÷3=10/3

(2)
余事象。
【少なくとも1本は当たり=全体-2本ともハズレ】
Aは5本中3本、Bは4本中1本がハズレ。
ハズレを2本ひく確率は、3/5×1/4=3/20
少なくとも1本当たりは、1-3/20=17/20

(3)
:30日間の中央値は15番目と16番目の平均。
 Aの中央値は200台を超える→少なくとも上位15日は200台超。〇
イ:第1四分位数は下位15日の真ん中、下から8番目。
 A駅とB駅の下から8番目が150台。それより下は最小値以外わからない。×
ウ:四分位範囲=第3四分位数-第1四分位数、箱が長いCが大きい。〇
エ:最大値はBが最も大きい。×
ア・ウ

(4)ア
y=x2において、
x=0のとき、最小値y=0
x=-3/2のとき、最大値y=9/4
0≦y≦9/4


答案では式を計算を含めて過程を記述する。

C(a、a2)のx座標は負なので、a<0
OB;y=2xにy=a2を代入→D(a2/2、a2
AB=2-(-2)=4
CD=4×⑤/⑧=5/2

CDの長さで等式を立てる。
CD=2/2-a=5/2
2/2-a-5/2=0 ←2倍
2-2a-5=0
解の公式を適用、b=2b’が使える。
a<0より、a=1-√6

大問4(推論&方程式)

(1)ア
花子は操作②を終えて、【1、2、7、8】
太郎は操作③を終えて、【5、7、7】
しかし、操作⑤を終えると2人とも同じ値になるらしい。。

太郎の【5、7、7】から【5、7】を取ると5+7+2=14→【7、14】
X=7+14=21
【7、7】を取ると7+7+2=16→【5、16】
X=5+16=21で等しくなる。

最初の5枚から2枚とり、2枚を合算して4枚にする。
4枚から2枚とり、2枚の合算に+1して3枚にする。
3枚から2枚とり、2枚の合算に+2して2枚にする。
Xは残った2枚を合算した値

ということは、どのような取り方をしても、Xは【最初の5枚の和】+3である
1+2+3+5+7+3=21
X=21



マス目を書いて情報を整理する。
最後の2数の和が62。最初の5つの和は62-3=59となる。
操作②で取った2枚のうちの1枚が3。

操作③で取った2枚のうちの1枚は1だった→最初の5枚の中に1がある。
操作③終了後の数をとすると、3枚すべてがになった。
もし、操作②で合算したカードと1を操作③で合算すると、残りの2枚がで重複する
最初のカードは『異なる5つの自然数』なので不適。

ということは、操作③では合算されていないカード同士が合算される
操作④はどれもなので、どこで合算してもいい。これでカードの流れが確定した。
★★★+2=62
=20

こんな感じになる。

残りを埋めると、最初の5枚は1、3、17、18、20。
和を検算すると59である。

(2)ア
ペットボトルは2日間で計280本売れ、1日目は2日目より130本少なかった。
1日目で売れた本数をx本とすると、2日目はx+130本。
x+(x+130)=280
x=75
75本


届けられたアイス…x個
売れたアイスは30%→0.3x個
届けられたドーナツ…y個
すべて売れた→売れたドーナツもy個。
『売れたアイスは売れたドーナツよりも34個多かった』
0.3x=y+34
y=0.3
x-34


答案では式と計算を含めて過程も記述する。シンドイ(;´・ω・)
1日目で売れ残り、2日目に売ったアイス…x-0.3x=0.7x個
2日目に届けられたドーナツ…1日目の3倍だから3y個。
アイスの方が多く(0.7x>3y)、アイスとドーナツを1個ずつセット販売した。
ドーナツはセット販売のみなので、セットの個数は3yセット
さらに、アイスは個別販売で4個売れた。

2日目終了時の売れ残りはアイス5個とドーナツ3個。
ドーナツはセット販売のみだから3セット売れ残ったことになる。
個別販売で売れ残ったアイスで等式を立てると、

0.7x-3y=6
これに前問のy=0.3x-34を代入すると、
0.7x-3(0.3x-34)=6
0.7x-0.9x+102=6
0.2x=96
x=480
y=0.3×480-34=110
x…480 y…110


大問5(図形の証明)

(1)
△CFG∽△FICの証明

仮定と正方形の内角から、∠CGF=∠FCI
CG//IFの錯角で、∠FCG=∠IFC
2角相等で∽。

(2)
BJ=HKの証明。

BJとHKを1辺とする三角形に着目する。
△ABJと△AHKが合同であれば、対応する辺からBJ=HKが導ける。
∠BAJ=∠HAK=90°
これ以外の情報がないので、別のところで足掛かりをつくるしかない。

↑この形が見えるかどうか。
(問題集に出てくる形式で、Aを中心に△ABEを回転させると△AHCになる)
これらが合同であることを指摘すれば、対応する辺や角を使って証明ができそう。
正方形の辺から、AE=AC
他の等辺が見当たらないので両端角に狙いを絞る。

正方形の内角から、∠FAE=90°
∠BAE=∠BAF(×)+∠FAE(90°)=∠BAF(×)+∠HAK(90°)=∠HAC

もう1つの等角は△AFEと△GFCに注目する
∠FAE=∠FGC=90°
対頂角で、∠AFE=∠GFC
残りの角は等しいから、∠FEA=∠FCG(
→∠AEB=∠ACH
1辺と両端角が等しいから、△ABE≡△AHC

対応する辺で、AB=AH
対応する角で、∠ABJ=∠AHK
1辺と両端角が等しく、△ABJ≡△AHK
対応する辺で、BJ=HK


大問1
配点率26%。
後半戦がきついので、高得点を狙うには時間の消費を抑えたい。
(4)根号でくくると大きな数字が出てこない

大問2
(2)イ:側面積は展開した長方形で一括処理する。
(3)数値も汚く、迷ったら後回し推奨。
HGが変なところにあるので、DG-DHから求めると想像する。
典型的な合同図形からDG=AE。Hが円周上の点であることに着目しAHを結ぶ。
半径が等辺となる二等辺三角形から底辺DHを出す。
大問3
(3)小問集合の息抜き。ここまでは取る。
(4)イ:CとDの座標をaで表してから、CDの長さで等式を立てる。
a<0の条件を忘れずに。
大問4
共通テストの影響か、長文&条件整理が厳しい。
(1)ア:わかってしまえば単純だが、操作がややこしく、把握に時間を要する。
花子も太郎も同じになるので、操作③まで終えた太郎で検証してみる。
イ:推論の問題は情報整理がカギ。虫食い算のようにマス目を埋めて調べる。
操作③で2通りの合算がある点に注意。
(2)条件を複雑にしてやろうとの強い意思を感じ、妙な雰囲気がプンプン(;´Д`)
時間の情報は使わなかった。
ア:8・9行目をみる。
イ:下線部だけをみる。計算より読解力や情報整理力。
ウ:ここに時間を費やすより、他の問題を見回る方が吉。
時間が余ったら、部分点狙いで何か書く。
アイスのセット販売はドーナツの個数分で、3セット売れ残っている。
前問の式に代入して求まるが、全体的に異様な設問である。
大問5
(1)ここは取りたい。
(2)手順の多い証明だが小問で分離されておらず、完走には時間がかかる。
部分点狙いで食いつきたい。
正方形の1辺を利用する△ABE≡△AHCに目を向けたい。
等角の1つの指摘に、さらに工夫を要した。
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