2023年度　富山県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均54.3点（前年比；＋1.1点）
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大問１（小問集合）

（１）
９＋２×（－３）
＝９－６
＝３

（２）
３ｘ²ｙ×４ｙ²÷６ｘｙ
＝２ｘｙ²

（３）
９/√３－√48
＝３√３－４√３
＝－√３

（４）
３（３ａ＋ｂ）－２（４ａ－３ｂ）
＝９ａ＋３ｂ－８ａ＋６ｂ
＝ａ＋９ｂ

（５）
２ｘ＋５ｙ＝－２　…①
３ｘ－２ｙ＝16　…②

①×３－②×２をすると、19ｙ＝－38
ｙ＝－２
②に代入、３ｘ＋４＝16
ｘ＝４
ｘ＝４、ｙ＝－２

（６）
（ｘ－２）²＝25
ｘ－２＝±５
ｘ＝２±５
ｘ＝－３、７

（７）
全部でチョコはａ個。
配った個数は８ｂ個、余りが５個。
ａ＝８ｂ＋５

（８）
全体は６×６＝36通り
差が３になる⇒ＡーＢ＝３、Ｂ－Ａ＝３どちらでもＯＫ。
（１、４）（２、５）（３、６）とこれらの逆を含めて６通り。
確率は６/36＝１/６

（９）

同位角で100°を移す。
∠ＥＢＣ＝（180－100）÷２＝40°
錯角で40°を移し、ｘ＝180－40＝140°

（10）

円の対称の軸→円の中心を通る直線。
適当な円周上の２点の垂直二等分線をひけばいい。

大問２（関数）

（１）
ｙ＝１/２ｘ²は下に凸のグラフで、－１≦ｘ≦２は原点を通る。
ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０
ｘ＝２のとき、最大値ｙ＝２
０≦ｙ≦２

（２）

ｙ＝１/２ｘ²に代入して座標を求める。
Ａ（－４、８）→Ｂ（２、２）
右に６、下に６だから、傾きは－６/６＝－１
ＡＢの切片は、Ｂから左に２、上に２移動して２＋２＝４
△ＯＡＢの面積は、４×６÷２＝12

（３）

Ｏを通り、△ＯＡＢを２等分する直線→ＯとＡＢの中点を通る直線。
中点をＭとする。Mのｘ座標は、（－４＋２）÷２＝－１
ｙ座標は、（８＋２）÷２＝５

M（－１、５）→原点Ｏ
右に１、下に５、傾きは－５。
ｙ＝－５ｘ

大問３（データの活用）

（１）
３/25＝12/100＝0.12

（２）
25人の中央値は、（25＋１）÷２＝13番目の値
これは15日以上20日未満の階級に含まれる。

（３）
ア：Ｑ組の15日以上は、８＋８＋５＝21人いる。〇
イ：最頻値（モード）は最もあらわれている値。
Ｐ組は15～20日の階級→17.5日、Ｑ組は10～15日→12.5日×
ウ：Ｐ組…５/25＝１/５、Ｑ組…８/40＝１/５〇
エ：最大値はともに25～30日の階級に含まれるが、何人いるか詳細はわからない。×
オ：Ｐ組…（３＋３）/25=６/25、Ｑ組…（２＋５）/40＝７/40
分子は１しか違う。分母がそれ以上に小さいＰ組の方が値は大きい。〇
ア・ウ・オ

大問４（規則）

（１）
【１、３、６、10…】
＋２、＋３、＋４…→６番目は１～６の和。
（１＋６）×６÷２＝21

（２）
【６、12、18…】
ｎ番目は６ｎ。

＠余談＠

図形の周の長さは、長方形の周囲と同じ。

（３）
等差数列の和の公式は覚えておく。
ｎ番目のタイルの枚数…１～ｎまでの和→ｎ（ｎ＋１）/２
ｎ番目の周の長さ…６ｎ

ｎ（ｎ＋１）/２＝６ｎ　←両辺２倍
ｎ（ｎ＋１）＝12ｎ
ｎ²－11ｎ
＝ｎ（ｎ－11）＝０
ｎ＞０だから、ｎ＝11
11番目の周の長さは、６×11＝66
ウ…11　エ…66

大問５（空間図形）

（１）

Ａから底面に垂線をひき、足をＨとする。
ＢＨ＝３－２＝１ｃｍ
△ＡＢＨで三平方→高さＡＨ＝３√11ｃｍ

（２）

図の点をＣ・Ｄ・Ｅとする。
△ＣＡＤ∽△ＣＢＥの相似比は２：３。
ＣＤ：ＤＥ＝２：１だから、ＣＥ＝３√11×３＝９√11ｃｍ

体積比は相似比の３乗→上の三角錐：全体の三角錐＝２³：３³＝⑧：㉗
下の立体Ｐ（円錐台）の体積比は、㉗－⑧＝⑲
立体Ｐの体積は、３×３×π×９√11÷３×⑲/㉗＝19√11πｃｍ³

（３）

円錐台の赤い円をコロコロ転がしたら、青い円の円周になる。
赤い円の円周…２×２×π＝４πｃｍ

円錐の頂点ＣがＯにあたる。
青い円の半径は△ＣＡＤ∽△ＣＢＥの相似比２：３から、ＣＡ＝10×２＝20ｃｍ
青い円の円周…20×２×π＝40πｃｍ
円錐台が回転した回数は、40π÷４π＝10回

＠公式＠
円錐の回転数＝母線÷半径＝30÷３＝10回

大問６（数量変化）

（１）

ｘ＝５のとき、ｙ＝20
20ｃｍはまだ段差の影響を受けていない→比例が使える。
ｘ＝１のとき、ｙ＝20×１/５＝４

（２）

20ｃｍで５分だから、40ｃｍは10分かかる。

次の40ｃｍは底面積が２倍になる→体積２倍→時間は２倍かかるから20分間。

原点から（10、40）、20分後の（30、80）を結ぶ。
高さ80ｃｍから給水口Ⅱが追加されるが、水量はわからない。
表にｘ＝50、ｙ＝200とあるので、（50、200）まで線を引く。

（３）
80≦ｙ≦200の直線で、（30、80）→（50、200）
右に20、上に120だから、傾きは120/20＝６（１分間に６ｃｍ上昇）

（30、80）から20ｃｍ上昇して100ｃｍになる。
20÷６＝３・１/３分＝３分20秒
30分から３分20秒後の33分20秒後。

（４）

満水から水を排出する。
段差が厄介。まずは段差のないＨまで水面が下がる時間を求める。
２段目の段差を１段目に移すと、ちょうど水槽の下40ｃｍが埋まる。
ということは、水の容積は水槽の高さ160ｃｍ分に相当し、これが60分で排出する。
Ｈまで水面が下がる時間は、60×120/160＝45分

Ｈから残り３分間、水を減らす。
45分で120ｃｍの減少。
さらに底面積が２/３倍に減るで、水面の高さの減少スピードは逆比で３/２倍に上がる。
残り３分で水面の高さは、120×３/45×３/２＝12ｃｍ減る。
ＨＣ＝80ｃｍだから、水面の高さは80－12＝68ｃｍ

大問７（平面図形）

（１）
△ＡＣＥ≡△ＢＣＦの証明。

仮定より、ＡＣ＝ＢＣ
半円の弧に対する円周角で、∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＦ＝90°
弧ＣＤに対する円周角で、∠ＣＡＥ＝∠ＣＢＦ（●）
１辺と両端角が等しいから△ＡＣＥ≡△ＢＣＦ

（２）

角度の情報が与えられたので角度を調査する。
∠ＡＣＢ＝90°、ＡＣ＝ＢＣより、△ＡＢＣは直角二等辺三角形。
∠ＥＡＢ＝45－15＝30°、∠ＥＢＡ＝45°

30°も45°も有名三角形の内角。
ＥからＡＢに垂線、足をＨとする。
△ＡＨＥの辺の比は１：２：√３、△ＢＨＥは１：１：√２。

△ＡＣＥと△ＢＤＥは対頂角＋円周角で２角相等の∽。
相似比は対応する辺の比から、ＡＥ：ＢＥ＝２：√２
面積比は相似比の２乗、△ＡＣＥ：△ＢＤＥ＝２²：（√２）²＝２：１

（３）

Ｃは弧ＡＢの真ん中。
半径３ｃｍの４分の１円から直角二等辺ＯＢＣをひくと、
３×３×π×１/４－３×３÷２＝９/４π－９/２ｃｍ²
これから△ＢＤＥをひけばいい。 Ｅに関する比が欲しい。
△ＡＢＦ＝△ＡＢＥ×２ということは、△ＡＢＥ＝四角形ＡＥＢＦ
（１）△ＡＣＥ≡△ＢＣＦだったので、それぞれの面積を★とすると、△ＡＢＥ＝★★
△ＡＣＥ：△ＡＥＢ＝ＣＥ：ＥＢ＝①：②

ＡＣ＝ＢＣ＝③
△ＡＣＥで三平方→ＡＥ＝〇√10
△ＡＣＥ：△ＢＤＥ＝（√10）²：２²＝⑤：②
方針；【△ＡＢＣ→△ＡＣＥ→△ＢＤＥ】
６×３÷２×①/③×②/⑤＝６/５ｃｍ²
したがって、求積すべき図形の面積は、
（９/４π－９/２）－６/５＝９/４π－57/10ｃｍ²