2022年度 栃木県公立高校入試過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
14÷(-7)
=-2

(2)
2/3a+1/4a
11/12a

(3)
(x+5)(x+4)
=x2+9x+20

(4)
2x2-3x-1=0
解の公式を適用して、
x=(3±√17)/4

(5)
x=3のとき、y=4
x=6のとき、y=2
2≦y≦4

(6)
9×2×π×60/360=3πcm

(7)

中心角は円周角の2倍なので、∠BOC=29×2=58°
半径で△OBCは二等辺だから、x=(180-58)÷2=61°

(8)
ア:3辺が等しい。
イ:2辺とあいだの角が等しい。
エ:1辺と両端角が等しい。

あいだの角でないと、上のように2通りできる。

大問2(小問集合2)

(1)
根号の中が平方数になれば、根号が外れて正の整数になる。
10-n⇒10未満の平方数は1・4・9しかない
n=10-1=9
n=10-4=6
n=10-9=1
n=1、6、9

(2)
答案では途中の計算も書く。
大人1人がx円、子ども1人がy円。
2割引き→0.8をかける。

2x+5y=3800 …①
0.8(5x+10y)=6800 …②

②を整理すると、x+2y=1700 …③
①-③×2より、y=400
③に代入して、x=900
x=900、y=400
大人…900円、子ども…400円

(3)
x=3を代入。
2-8×3+2a+1=0
2a=14
a=7

これを元の式に代入。
2-8x+2×7+1
=x2-8x+15
=(x-3)(x-5)=0
もう1つの解はx=5
a=7、x=5


大問3(小問集合3)

(1)
全体は6×6=36通り
積が25以上の場合は(5、5)(5、6)(6、5)(6、6)の4通り。
確率は、4/36=1/9

(2)
赤色のキャップは50個中15個の割合とみなす。
800×15/50=240個

(3)①
データを昇順に並べると、
【1・3・4・5・6・6・8・11・13・13・15・21】
12個の第2四分位数(中央値)は6番目と7番目の平均で7日。
第1四分位数は下位グループ【1・3・4・5・6・6】の中央値、
すなわち、3番目と4番目の平均で4.5日。
第1四分位数…4.5日、第2四分位数…7日

最小値は1日、最大値は21日。
第3四分位数(Q3)は上位6つの3番目と4番目の平均で13日。

②C市、範囲と四分位範囲がB市よりC市の方が大きいから。
*範囲(レンジ)=最大値-最小値
範囲が広い方がデータは散らばる。
四分位範囲=第3四分位数-第1四分位数
箱の横の長さで、極端な値を廃した四分位範囲が広いほどデータは散らばる。

大問4(平面図形)

(1)

AP=BP→PはAとBから等距離にある。
ABの垂直二等分線と直線ℓとの交点がPとなる。

(2)①

BGを斜辺とする直角三角形BGHをつくる
BG=√(42+22)=2√5cm



全体の三角柱から上の三角錐を引けばいい。
4×2÷2×3-4×2÷2×2÷3
=12-8/3
=28/3cm3

@余談@

体積比でいけなくもないです。
高さの比であるAG:AD=2:3から、
三角錘G―ABCの体積を②とすると、三角錘D―ABCは③。
錘の3倍が柱なので、三角柱ABC―DEFは③×3=⑨
求積すべき立体の体積は、⑨-②=⑦
三角柱の7/9倍で求まります。

(3)
△DBC∽△DCAの証明。

二等辺ABCの底角と仮定、共通角をあわせて2角相等→∽
難しくない。


大問5(数量変化)

(1)①
x軸について対称移動させると、下に凸が上に凸のグラフに変わる。
y=-x2



AB=4、CD=8
△OABと△OCDの面積は等しい→底辺2倍なら高さ半分
△OABの高さはAのy座標である4。
△OCDの高さにあたるCのy座標は4÷2=2
C(4、2)をy=ax2に代入。
2=16a
a=1/8


答案では途中の式も書く。

傾きが平行→傾きが等しい点から等式を立てる
A(2、4)⇒C(4、16a)
ACの傾きは、(16a-4)/(4-2)=8a-2
D(-4、16a)⇒O(0、0)
DOの傾きは、(0-16a)/{(0-(-4)}=-4a

8a-2=-4a
a=1/6

(2)①
グラフよりB社の200kWh時点は7000円なので、
超過分は9400-7000=2400円
超過分の電気使用量は、2400÷24=100kWh
よって、全体の電気使用量は、200+100=300kWh


A社200kWh超は1kWhあたり28円増加→傾きは28
y=28x+b

これに、グラフで与えられた(x、y)=(200、6800)を代入。
6800=28×200+b
b=1200
y=28x+1200


B社のグラフが通る(200、7000)はC社のグラフが通る(200、7500)より下にあり、
B社のグラフの傾き24はC社のグラフの傾き25より小さい。

x≧200のBとCの比較。
比較すべき数値は揃っており、言い回しは下線部をまねればいい。
200kWh時点はB(200、7000)C(200、7500)でBの方が安い。
それ以降は傾きに着目する
Bの方が傾きが小さいので両者は交わることなく、徐々に差が広がっていく。
CがBを下回ることはなく、B社の方が安いと言える。

大問6(規則)

(1)
周期をどこに設定するか。
スタートはウだが1回目はエなので、周期のスタートはエ
右のオに行って中央のウに戻り、左のアに行って中央のウに戻る。
このときが初期状態と同じで、次のエが2ループ目のスタートになる。
周期;【エ⇒オ⇒エ⇒ウ⇒イ⇒ア⇒イ⇒ウ】
19÷8=2ループ…3
余り3はエ⇒オ⇒エだから、19回目はエとなる。
1ループでエは2回またぎ、余り3で2回またぐから、
2×2+2=6度目
エ、6度目

(2)

図4のn=2で検証してみると、中央→右端→中央→左端→中央はいずれも2回で、
1往復の全体の回数は、2×4=8回

2をaに置き換えても同様。
n=aのときの3往復は、4a×3=
12a回

(3)

左から2番目を1度目にまたぐのは、3b回の1個手前
つまり、3b-1回。

端っこの棒以外は1ループで2回またぐので、
左から2番目の線を12回またいだということは6往復した
6往復の全体の回数は、4b×6=24b回

行き過ぎたb-1回分戻ればいい
24b-(b-1)=23b+1
これがⅠの(3b-1)の8倍に等しい。

8(3b-1)=23b+1
24b-8=23b+1
b=9
Ⅰ…3b-1、Ⅱ…b=9


大問1
全問正解を目指したい。
(8)合同条件が成り立つものを1つずつ潰していく。
大問2
(1)根号の中身が10未満の平方数になると手早く見抜く。
(2)2割引き→0.8倍(4/5倍)
大人と子どもの人数が5の倍数でありがたかった。
(3)問題集に載っている。
大問3
(3)②公式解答によると、範囲と四分位範囲の大小関係を比較すれば足りる。
大問4
(2)②Dを含まない方が三角錐で体積を求めやすい。
(3)記述のしやすい証明であった。
大問5
(1)②面積が等しい⇒底辺の比と高さの比は逆比。
③y=ax2上の点であるCとDの座標をaで表す。
傾きが等しい点から等式を立てる。
(2)後半が活用の問題になる。
①問題文のグラフをよく見よう。B社(200、7000)がすでに与えられている。
③スタート地点の200kWhがB<C。傾きがB<CだからBは常にCの下にある。
『グラフが通る点とグラフの傾きに着目』と問題文に書くべき要素も与えられていた。
大問6
(1)次の初期状態はどこで起こるが。
スタートが中央から1個右(エ)なので、エを右から踏む状態が2ループ目の最初。
(2)図4で実験すると中央から端までがちょうど2回。あいだの数(-1)ではなかった。
(3)特色はあったが、複雑ではない。図を描いてみよう。
前問の往復の回数と全体の回数の関係を使うとやりやすくなる。
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