2020年度 大阪府立高校入試C問題【数学】解説

平均41.3点
問題はコチラ→PDFファイル
A問題B問題の解説はコチラ。

大問1(小問集合)

(1) 96.5%
3/8a2b÷9/4ab2×(-3b)2
=3/8a2b×4/9ab2×9b2
=3/2ab

(2) 87.1%
(6-√18)/√2+√2(1+√3)(1-√3)
(6√2-6)/2+√2{12-(√3)2
3√2-3-2√2
=√2-3

(3) 81.2%
(x-1)2-7(x-1)-8=0
(x-1)をXに置き換え。
2-7X-8
=(X+1)(X-8) ←Xをx-1に戻す。
=(x-1+1)(x-1-8)
=x(x-9)=0
x=0、9

(4) 54.1%
反比例で変化の割合が問われた(´゚д゚`)
x=3のとき、y=a/3
x=5のとき、y=a/5
変化の割合=yの増加量/xの増加量

a=-15

(5) 72.9%
まずは条件整理。

A8個、B10個、C4個。
P;A→Cに2個or3個or5個移動。
Q;B→Cに1個or3個or5個移動。
移動後の個数がA<B<Cとなる確率を求める。

◆A<B
Aが8個、Bが10個。差はB-A=2
QがPより2以上大きいと、A≧Bとなり不適
(P、Q
)=(2、1)(2、3)(3、1)(3、3)(4、1)(4、3)(4、5)

◆B<C
うえの7通りのうち、CがBより多くなるパターンを絞る。
たとえば、(P、Q)=(2、1)ならば、Cは4+2+1=7個となり、
Bは10-1=9個でB>Cとなるから不適。
(P、Q)=(2、3)(3、3)(4、3)(4、5)
以上4通り。
したがって、4/9

(6) 38.8%
算数でいきます(;`ω´)

 ↑8年分はあらかじめ均して長方形に整理。
長方形の上の辺が8年の平均値。

2.6℃と16.2℃を加えて、10年で均すと平均値は0.3℃下がる。
10年の平均値より上にある長方形の上部0.3×8=2.4℃と
16.2℃の上部が2.4℃を埋めることで10年の平均値になる
→長方形の上部2.4℃を右の2年に合算し、右の2年を均すと10年の平均値となる。
2.4+2.6+16.2=21.2℃
21.2÷2=10.6℃

@別解@
算数大好きさん(@kimagure_mana)より素敵な解法を頂きました(*´д`艸)

求めたい10年の平均値を支点に設定。
両サイドは2年の平均9.4℃、8年の平均□+0.3℃で、
支点からの距離は2:8=1:4の逆比。
①=0.3℃から計算すると10.6℃となります。
*天秤法は食塩水の濃度問題でメジャーですが、平均でも応用できるんですね(゚∀゚)
多少の慣れが求められますが、こういう問題は算数の方が処理が少ないのでオススメです。

(7) 21.8%!
シンプルだが…厳しい(´Д`||)
こういう整数論は文字を使って等式を立ててみる。
93の倍数⇒93k、素数⇒p
 2020-n=93k…①
+)n-780= p…②
   1240=93k+p

93をk倍して素数pを足すと2020になる。
試しに2020を93で割ってみる。
2020÷93=13…31
ちょうど余りの31が素数であり、k=13、p=31と出てしまう(;’∀’)
これを②に代入して、n-780=31
n=811
*運良く出てしまったが・・1240と93を観察するといずれも31の倍数なので、
1240=93k+p
p=1240-93k=31(40-3k)
31が素数なので、31(40-3k)を素数のままにするには、
40-3kが1のときしかない。(31×1=31)
40-3k=1
k=13
①に代入して、n=811となる。

(8) 48.7%
答案では過程も記述する。

A(4、16a)
B(-2、-2b+4)
AとBのy座標を手がかりに、16a=-2b+4…①

ℓ//nからnの傾きはb、切片は3だから、n;y=bx-3
D(4、4b-3)
正方形ABCDの1辺はAとBのx座標の差である6cm。
AD=16a-(4b-3)=6
16a-4b=3
…②

①と②で連立。代入法が使える。
②の16aに①の-2b+4を代入。
-2b+4-4b=3
b=1/6
①に代入。
16a=-2×1/6+4
a=11/48
a=11/48、b=1/6


大問2(平面図形)

(1) 30.1%!
四角形EACFが平行四辺形である証明。

AC//EFと1組の対辺の平行がわかっているので、
2組の対辺が平行であるか(AE//CF)、
1組の対辺が平行でかつ長さが等しいか(AC=EF)。
AE//CFは錯角や同位角を見つけにくいので、
合同図形や平行線を頼りにAC=EFの導出に的を絞る。

二等辺ABDの底角→∠ABD=∠ADB(×
AB//EDの同位角→∠ABD=∠EDF(×
AC//EFの同位角→∠ADB=∠EFD(×
△DEFにおいて2つの底角が等しい→二等辺三角形
EF=ED(★)
△DAE≡△ABCより、ED=CA(対応する辺に気を付けよう!)
以上より、EF=CAが導かれ、1組の対辺が平行かつ長さが等しく、
四角形EACFは平行四辺形となる。

(2)① 83.5%

△ACGで三平方→CG=4√2cm
△BCGで三平方→BC=4√3cm

② 20.0%!

CGとDEの交点をIとする。
EHを1辺とする三角形は△EHI。
BG//DEにより、△EHI∽△AHG
AE=BC=4√3cmであるから、AH:EHさえわかればいい。
AH:EH=AG:EI
前問の証明の通り、DE=AC=6cmなので、EIの長さを知りたい。

AG//DIより、△ACG∽DCI
△ABDは二等辺なので、AD=2cm、DC=4cm
DI=2×4/6=4/3cm
IE=6-4/3=14/3cm
AH:EH=AG:EI=2:14/3=3:7
EH=4√3×7/10=14√3/5cm

③ 8.2%!!

四角形EHCF=平行四辺形EACF-△ACH
前問でAH:HE=3:7をわかったので、
△ACHの面積を【3】とすると、△HCEの面積は【7】。
CEは平行四辺形の対角線で、△CEFの面積は△CEAと同じ【10】。
つまり、平行四辺形EACFの面積の17/20倍をすれば四角形EHCFとなる
平行四辺形EACFの面積が知りたい。

高さは直角のあるところに目をつける
∠BGC=90°
△ABC=2×4√2÷2=4√2cm2
合同より、△ADE=4√2cm2
AD:DC=2:4=1:2だから、
△ADEの面積を①とすると△DCEは②、△CEFは③。
平行四辺形EACFの面積は⑥となる→4√2×6/1=24√2cm2

したがって、四角形EHCFの面積は24√2×17/20=102√2/5cm2

大問3(空間図形)

(1)① 58.8%
EJ+JIが最小→直線
展開図を作成。

問題文にあるように、四角形EADHとHGCDは長方形。
△EJH∽IJDより、HJ:JD=EH:ID=4:3
HJ=8×4/7=32/7cm
△EJHの面積は、4×32/7÷2=64/7cm2

② 31.8%!
角度が同一平面上にない・゚・(゚`Д´゚)・゚・
そういうときは、同じ面に写してみよう


奥の四角形EFGHを手前の四角形ABCDに投影。
KD//BIより、同位角で∠ABI=b
四角形ABCDは等脚台形なので、∠ABC=∠DCB=a+b
△BCIで外角定理→∠BID=a+(a+b)=2a+b

③ 9.4%!
四角形EFGHだけだと情報が足りないので、先ほどの投影した図を用いる。

DKとCF(CB)を延長、交点をLとする。
△FCI∽LCDより、LC=8×5/2=20cm
LF=20-8=12cm
△AKD∽△FKLより、AK:KF=AD:FL=4:12=1:3
KF=5×3/4=15/4cm

(2)① 39.2%

DFを対角線とする直方体をみつける。
辺の長さがa、b、cの直方体の対角線→√(a2+b2+c2

直方体の高さを求める。
等脚台形は公立高校入試でよく出てくるよ!( ˘ω˘ )
AとDから垂線、足をN、Oとする。
等脚台形は左右対称。BN=(8-4)÷2=2cm
△ABNで三平方→AN=√21cm

↑上からみた図。
横は8cm、縦は先ほどの図で言えばBOで6cm。
対角線DF=√(82+62+√212
=√121=11cm

② 3.5%!!
Aと平面DFLの距離であるAMを求めるので、
まず、AMを高さとする立体を見極める。

三角錐F-ADLです。
前問で求めたDFも辺に含んでいる。
三角錐F-ADLの体積を求め、底辺である△DFLの面積から高さAMを算出する。

 長さを認定していく。
EF//AB//DLで、四角形ABLDは2組の対辺が平行である平行四辺形
BL=4cm、DL=5cm
△FBLで三平方→FL=4√5cm

等脚台形ABCDの高さは前問で√21cmと求めたので、
三角錐F-ADLの体積は、4×√21÷2×8÷3=16√21/3cm3

△DFLの3辺の長さがわかった。
LからDFに垂線、交点をPとおく。
DP=xとすると、FP=11-x
2つの三角形で三平方。
DL2-DP2=LP2=FL2-FP2
2-x2=(4√5)2-(11-x)2
25-x2=80-121+22x-x2
22x=66
x=3

△DLPは3:4:5の直角三角形→LP=4cm
△DFLの面積は、11×4÷2=22cm2

したがって、AMの長さは、16√21/3×3÷22=8√21/11cm

大問1
(4)あんまり反比例で変化の割合は考えないしね(´・∀・`)
(5)場合の数。よく調査できている◎
(6)平均。正攻法は方程式だと思うが、算数力が生かせる設問。
(7)整数。こういう形式を経験したか否かで差が大きくでる。
(8)処理系の記述問題。めんどい< `∀´ >
大問2
(2)②EHを知るにはどこを知るべきか。ゴールから逆算する。
③面積比の処理は手際良く!(ノ)`ω´(ヾ)
慣れれば1つの式で答えが求まる。
大問3
(1)②面が離れているのでウッとなるが、2つの面が平行⇒写す。
(2)②決着は立体を見つけられたか否か。
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