2022年度 愛媛県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均26.5点(前年比;+0.4点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1)
-3-6
=-9

(2)
(2x-5y)/3+(x+3y)/2
={2(2x-5y)+3(x+3y)}/6
=(4x-10y+3x+9y)/6
=(7x-y)/6

(3)
(3x2y-2xy2)÷xy
=3x2y÷xy-2xy2÷xy
=3x-2y

(4)
√10/√2-(√5-2)2
=√5-(9-4√5

=√5-9+4√5
=5√5-9

(5)
(a-3)(a+3)+(a+4)(a+6)
=a2-9+a2+10a+24
=2a2+10a+15

大問2(小問集合)

(1)
5x2+4x-1=0
解の公式を適用する。xの係数が偶数だからb=2b’が使える。
x=(-2±3)/5=1/5、-1

2)

3本目の平行線をひいて錯角。
x=110-35=75°

(3)
ア:最頻値(モード)は最もあらわれている値で、Aは6.5時間、Bは7.5時間。×
イ:Aは7/30、Bは21/90で等しい。×
ウ:13÷30≒43%×
エ:90人の中央値(メジアン)は45番目と46番目の平均で、7~8時間の階級に含まれる。×

(4)
6個から2個を選ぶ→62=15通り
赤1個と白1個を取り出す→41×21=8通り
確率は8/15。

(5)
3×3×π×10=90πcm3

(6)
ABを1辺とする正方形の作図。

①Aを通る直線ℓの垂線。
②ABの長さをとり、①の垂線との交点が正方形の頂点。
③ABの長さを維持して右上の頂点をつくる。

(7)
答案では求める過程も書く。
求めたい9月の男子をx人、女子をy人とする。
1つ目は、9月の利用者数で立式
+y=253-33 …①
2つ目は、増加した人数で立式。
0.21x+0.1y=33 …②

②×10-①で、1.1x=110
x=100
これを①に放り込んで、y=120
9月の男子は100人、女子は120人。


大問3(整数)

(1)
Qは最大数と最小数の差。
Q=762-267=495
ア…495

(2)
最大数…100a+10b+c、最小数…100c+10b+a
Q=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
=99a-99c=99(a-c)
a-cは整数だから、Qは99の倍数である。
イ…100c+10b+a、ウ…99

(3)①
先ほどの解答から、aとcの組み合わせを絞る。
Q=99(a-c)=396
a-c=4
a>cだから、(a、c)=(9、5)(8、4)(7、3)(6、2)(5、1)の5通り。

ここから、bをあいだに挿入する。
a>b>cなので、bはおのおのに3通りずつある
たとえば、a=9、c=5であれば、b=6~8の3通り。
a=8、c=4であれば、b=5~7の3通り。
したがって、3×5=15通り


9≧a>b>c≧1で、Q=99(a-c)
Qの値はaとcの差に依存する

a~cには3と8が含まれる。
c=3で固定すると、aは8か9しかない。
a=8で固定すると、c=3か2か1しかない。
差をとると、a-c=5or6or7
Q=99(a-c)なので、
99×5=495
99×6=594
99×7=693
Q=495、594、693

大問4(数量変化)

(1)

DAとRQの交点をEとする。
△PQR∽△AQEから、△AQEは直角二等辺三角形
AE=AQ=3cm
y=3×3÷2=9/2

(2)①

グラフがわかりづらい(´゚ω゚`;)
0≦x≦4のが放物線、が一次関数で直線、はy=14。

y=ax2に(x、y)=(4、8)を代入。
=16
a=1/2
y=1/2x2



0≦x≦4では、直角二等辺の底辺と高さが伸びるのでy=ax2で増加する。
グラフの転換点であるx=4のとき、最も大きい直角二等辺三角形になる。
aは長方形の縦だから4cm。

x=4以降では重なり部分が台形になる。
高さは4cmで一定、上底と下底が伸びるので一次関数で増加する。
PがBに接したときから重なり部分の形が変わらなくなり、このときの面積が14cm2である。

ADとRQの交点をFとする。
AF=RA=RB-AB=b-4cm
y=(b-4+b)×4÷2=14
b=11/2
a=4、b=11/2


大問5(平面図形)

(1)
△ABC∽△BDCの証明。

直径に対する円周角は90°。
×=90°で角度を調査。2角が等しいので∽

(2)①

前問の△ABC∽△BDCを用いる
求めるべきBCをxとすると、
AC:CB=BC:CD
3:x=x:1
内項と外項の積で、x2=3
x>0、x=√3
BC=√3cm



△BDCに着目すると、DC:CB=1:√3の直角三角形。
△BCDは辺の長さは1:2:√3で、内角は30°ー60°ー90°
これと相似関係にある△ABCも△ADBも同様である。

方針;【求積すべき図形=△ADB-(△AOC+扇形OBC)
AB=2√3cm
△ADBの面積…2√3×2÷2=2√3cm2

AO:OB=1:1から、△AOCは△ABCの半分
△ABCは底辺AC、高さBCで捉え、△AOC…3×√3÷2÷2=3√3/4cm2

∠CBA=60°
△OBCは半径から二等辺三角形→底角60°だから3つの角がすべて60°で正三角形
∠COB=60°
扇形OBC…√3×√3×π×1/6=π/2cm2

したがって、2√3-(3√3/4+π/2)=5√3/4-π/2cm2


大問1
(3)分配法則です。
大問2
ここまではなるべく失点をおさえたい。
(6)垂線と長さの写しで正方形は描ける。
(7)9月の利用者は253-33=220人と、すぐ出せるのに気づくこと。
大問3
高得点を目指すなら、問題文はなるべく早く読み切る。
(3)差がつくところであった。
今年の愛知Aグループ大問2(2)で同じ問題が出されている( ´艸`)
②あいだのbはQに影響しない。
(a、c)=(8、3)の組み合わせ以外は、aは8以上、cは3以下しかない。
大問4
(2)①放物線は途中でまっすぐになる。
②グラフの転換点の様子を作図してみよう。
大問5
(2)①シンプルな構図でみえやすい。
直角三角形の∽は頻出。求めたい長さをxとおいて方程式。
②弧BCとなる扇形を作成。
角度は有名図形を疑う。直角以外は辺の情報しかない⇒1:2:√3⇒30°―60°―90°!
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