2022年度　愛媛県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均26.5点（前年比；＋0.4点）
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大問１（計算）

（１）
－３－６
＝－９

（２）
（２ｘ－５ｙ）/３＋（ｘ＋３ｙ）/２
＝｛２（２ｘ－５ｙ）＋３（ｘ＋３ｙ）｝/６
＝（４ｘ－10ｙ＋３ｘ＋９ｙ）/６
＝（７ｘ－ｙ）/６

（３）
（３ｘ²ｙ－２ｘｙ²）÷ｘｙ
＝３ｘ²ｙ÷ｘｙ－２ｘｙ²÷ｘｙ
＝３ｘ－２ｙ

（４）
√10/√２－（√５－２）²
＝√５－（９－４√５）
＝√５－９＋４√５
＝５√５－９

（５）
（ａ－３）（ａ＋３）＋（ａ＋４）（ａ＋６）
＝ａ²－９＋ａ²＋10ａ＋24
＝２ａ²＋10ａ＋15

大問２（小問集合）

（１）
５ｘ²＋４ｘ－１＝０
解の公式を適用する。ｘの係数が偶数だからｂ＝２ｂ’が使える。
ｘ＝（－２±３）/５＝１/５、－１

（２）

３本目の平行線をひいて錯角。
ｘ＝110－35＝75°

（３）
ア：最頻値（モード）は最もあらわれている値で、Ａは6.5時間、Ｂは7.5時間。×
イ：Ａは７/30、Ｂは21/90で等しい。×
ウ：13÷30≒43％×
エ：90人の中央値（メジアン）は45番目と46番目の平均で、７～８時間の階級に含まれる。×
イ

（４）
６個から２個を選ぶ→₆Ｃ₂＝15通り
赤１個と白１個を取り出す→₄Ｃ₁×₂Ｃ₁＝８通り
確率は８/15。

（５）
３×３×π×10＝90πｃｍ³

（６）
ＡＢを１辺とする正方形の作図。

①Ａを通る直線ℓの垂線。
②ＡＢの長さをとり、①の垂線との交点が正方形の頂点。
③ＡＢの長さを維持して右上の頂点をつくる。

（７）
答案では求める過程も書く。
求めたい９月の男子をｘ人、女子をｙ人とする。
１つ目は、９月の利用者数で立式。
ｘ＋ｙ＝253－33　…①
２つ目は、増加した人数で立式。
0.21ｘ＋0.1ｙ＝33　…②

②×10－①で、1.1ｘ＝110
ｘ＝100
これを①に放り込んで、ｙ＝120
９月の男子は100人、女子は120人。

大問３（整数）

（１）
Ｑは最大数と最小数の差。
Ｑ＝762－267＝495
ア…495

（２）
最大数…100ａ＋10ｂ＋ｃ、最小数…100ｃ＋10ｂ＋ａ
Ｑ＝（100ａ＋10ｂ＋ｃ）－（100ｃ＋10ｂ＋ａ）
＝99ａ－99ｃ＝99（ａ－ｃ）
ａ－ｃは整数だから、Ｑは99の倍数である。
イ…100ｃ＋10ｂ＋ａ、ウ…99

（３）①
先ほどの解答から、ａとｃの組み合わせを絞る。
Ｑ＝99（ａ－ｃ）＝396
ａ－ｃ＝４
ａ＞ｃだから、（ａ、ｃ）＝（９、５）（８、４）（７、３）（６、２）（５、１）の５通り。

ここから、ｂをあいだに挿入する。
ａ＞ｂ＞ｃなので、ｂはおのおのに３通りずつある。
たとえば、ａ＝９、ｃ＝５であれば、ｂ＝６～８の３通り。
ａ＝８、ｃ＝４であれば、ｂ＝５～７の３通り。
したがって、３×５＝15通り

②
９≧ａ＞ｂ＞ｃ≧１で、Ｑ＝99（ａ－ｃ）
Ｑの値はａとｃの差に依存する。

ａ～ｃには３と８が含まれる。
ｃ＝３で固定すると、ａは８か９しかない。
ａ＝８で固定すると、ｃ＝３か２か１しかない。
差をとると、ａ－ｃ＝５or６or７
Ｑ＝99（ａ－ｃ）なので、
99×５＝495
99×６＝594
99×７＝693
Ｑ＝495、594、693

大問４（数量変化）

（１）

ＤＡとＲＱの交点をＥとする。
△ＰＱＲ∽△ＡＱＥから、△ＡＱＥは直角二等辺三角形。
ＡＥ＝ＡＱ＝３ｃｍ
ｙ＝３×３÷２＝９/２

（２）①

グラフがわかりづらい(´ﾟωﾟ`;)
０≦ｘ≦４の赤が放物線、青が一次関数で直線、緑はｙ＝14。

ｙ＝ａｘ²に（ｘ、ｙ）＝（４、８）を代入。
８＝16ａ
ａ＝１/２
ｙ＝１/２ｘ²

②

０≦ｘ≦４では、直角二等辺の底辺と高さが伸びるのでｙ＝ａｘ²で増加する。
グラフの転換点であるｘ＝４のとき、最も大きい直角二等辺三角形になる。
ａは長方形の縦だから４ｃｍ。

ｘ＝４以降では重なり部分が台形になる。
高さは４ｃｍで一定、上底と下底が伸びるので一次関数で増加する。
ＰがＢに接したときから重なり部分の形が変わらなくなり、このときの面積が14ｃｍ²である。

ＡＤとＲＱの交点をＦとする。
ＡＦ＝ＲＡ＝ＲＢ－ＡＢ＝ｂ－４ｃｍ
ｙ＝（ｂ－４＋ｂ）×４÷２＝14
ｂ＝11/２
ａ＝４、ｂ＝11/２

大問５（平面図形）

（１）
△ＡＢＣ∽△ＢＤＣの証明。

直径に対する円周角は90°。
●＋×＝90°で角度を調査。２角が等しいので∽

（２）①

前問の△ＡＢＣ∽△ＢＤＣを用いる。
求めるべきＢＣをｘとすると、
ＡＣ：ＣＢ＝ＢＣ：ＣＤ
３：ｘ＝ｘ：１
内項と外項の積で、ｘ²＝３
ｘ＞０、ｘ＝√３
ＢＣ＝√３ｃｍ

②

△ＢＤＣに着目すると、ＤＣ：ＣＢ＝１：√３の直角三角形。
△ＢＣＤは辺の長さは１：２：√３で、内角は30°ー60°ー90°。
これと相似関係にある△ＡＢＣも△ＡＤＢも同様である。

方針；【求積すべき図形＝△ＡＤＢ－（△ＡＯＣ＋扇形ＯＢＣ）】
ＡＢ＝２√３ｃｍ
△ＡＤＢの面積…２√３×２÷２＝２√３ｃｍ²

ＡＯ：ＯＢ＝１：１から、△ＡＯＣは△ＡＢＣの半分。
△ＡＢＣは底辺ＡＣ、高さＢＣで捉え、△ＡＯＣ…３×√３÷２÷２＝３√３/４ｃｍ²

∠ＣＢＡ＝60°
△ＯＢＣは半径から二等辺三角形→底角60°だから３つの角がすべて60°で正三角形。
∠ＣＯＢ＝60°
扇形ＯＢＣ…√３×√３×π×１/６＝π/２ｃｍ²

したがって、２√３－（３√３/４＋π/２）＝５√３/４－π/２ｃｍ²