2019年度 秋田県公立高校過去問【数学】解説

平均53.7点

問題はコチラ→PDFファイルです

大問1(小問集合)

(15問の中から指示された8問を答える)
(1)  66.3%
5/6×(-0.4)
=5/6×(-2/5)=-1/3

(2)  88.6% 
2(3a-2b)-3(2a-b)
=6a-4b-6a+3b
=-b

(3)  91.3%
6:8=x:20
内項と外項の積は一緒。
8x=120
x=15

(4)  70.7%
(3x+4)/2=4x
3x+4=8x
x=4/5

(5)  87.5%
連立方程式。
上の式を2倍して足すのがやりやすいかな?
x=4、y=-3

(6)  54.1%
3x2-5x+2
=(3x-2)(x-1)=0
x=2/3、1

(7)  86.7%
√24-18/√6
=2√6-3√6=-√6

(8)  49.6%
傾きが負なので、右下がりの比例。
イ・ウ

(9)  52.9%
有効数字はサボも苦手デス(´゚д゚`)
理系に進むとよく使うそうですね。
本問は有効数字3桁で整数部分が1桁だから6.45を先に書き、
10の累乗で0の数を合わせる。
6.15×103

(10)  25.1%!
√nは連続する2つの整数(N、N+1)の間にある。
根号が邪魔なので2乗すると、
2≦n≦(N+1)2
nは31個だから、ある平方数から次の平方数までの数の個数が31個となる平方数を見つける。
102=100、112=121…足りない
122=144 132=169
142=196 152=255 162=256
256-255=31!
よって、N=15
*平方数は202まで覚えておくと便利です。

(11)  26.4%!
作図。
∠PBA=30°ということは、∠PBC=60°
60°といえば正三角形。
BCを1辺とする正三角形をつくって、ACとの交点をPとすればいい。

(12)  73.1%
弧BCに対する中心角BOC=38×2=76°
△OBCは二等辺なので、x=(180-76)÷2=52°

(13)  77.9%

同位角で131°を下し、外角定理から137-51=86°
x=131-86=45°

(14)  41.6%

△ABHで三平方。
高さAH=√(92-3√22)=3√7
6×6×3√7÷3=36√7cm3

(15)  11.3%!
△ACD方向からみる。
面積比は辺の比の2乗なので、
△ACD=④×④=⑯
△APQ=③×③=⑨
四角形PCDQ=⑯-⑨=⑦
三角錐A-BPQ:四角錐B-PCDQ=△APQ:四角形PCDQ=9:7
よって、9/7倍


大問2(小問集合2)

(1)①  68.9%
過程も記述する。
Aの座標に注目。
x座標が-2、これをy=-12/xに放り込む。
y=6→A(-2、6)
y=ax2に放り込む。
6=(-2)2
a=3/2

②  63.8%
y=-12/xから、B(3、-4)
A(-2、6)→B(3、-4)
右に5、下に10なので、傾きは-2。
y=-2x+bに代入して、切片bを出す。
y=-2x+2 …(イ)

(2)ア(説明)…27.4%! イ(解答)…36.9%
一次方程式。過程も書かせられる。
枚数をxとして、代金で等式。
24x=30×30+15(x-30)
x=50 → 50枚

(3)①  78.6%
②のやり方に即した方がやりやすいかな?
板が重なっていないとすると、全体の面積は、4×3×4=48cm2
重なりは3cm2で、4枚だと重なりは3ヶ所あるから、
48-3×3=39cm2


板1枚の面積
ア…3×4=12  93.4%
重なりの個数は間の数。
イ…n-1  81.3%
面積を一般化する。
全体の面積から重なりの面積をひく。
ウ…12n-3(n-1)=9n+3  39.8%

大問3(平面図形)

(1)①  95.4%
接線の作図手順を解答する。
図2の状態からまず何ができるかを考えていけばたどり着けるかと(*’ω’*)
AOを結んで、その垂直二等分線でMを得て、
Mを中心に円を描き、円Oとの交点がPとQ。
ウ→ア→イ

②  28.9%!
Aから接点P、Qまでの距離がそれぞれ等しい理由。
△APO≡△AQOを証明する。
教科書に載っているので正解したい。
共通辺と半径の長さ、接線と半径は垂直に交わることから、
直角三角形の合同条件である斜辺と他の1辺が等しいことを指摘する。

③  9.0%!!
内接円の図形で必ず言えることを選ぶ。
記号選択だが、思考力が試される。勘はダメ×

ア:図ではBA=BCっぽくもみえるが、仮にそうだとすると△ABCは二等辺となり、
  ∠BAC=∠BCAとなるが、その根拠がない。×
イ:悩みどころかな?∠Bは直角とは限らない。
  半径でOQ=OR、Bから接点Q、Rまでの距離が等しい。
  △OQBと△ORBは合同(2辺と間の角)となり、OBを対称の軸とした線対称の関係にある
  対応する点QRを結んだ線と対称の軸OBは直交する。○
ウ:AC//QRであれば同位角や錯角が等しくなるはずだが、根拠なし。×
エ:∠OPCと∠ORCは90°。内接する四角形は対角の和が180°なので、
  四角形CPORは円に内接する→4点C、P、O、Rは1つの円周上にある。○
よって、イ・エ。

(2)  16.7%!
内接円の半径が知りたい。
接線と半径は接点で垂直に交わるので、直角マークをつけていくと・・

四角形SORCとOQBRは4つの角がすべて90°で、
縦と横が半径で等しいから正方形。
CR=RB=6となり、半径が6cmとわかる。

このあとで手詰る人が多かったかな?(;’ω’)
全体の面積で方程式を作ろうとしても、右辺と左辺で同じになってしまうので解けない。
角度に注目しよう。

△OAQで、2つの角を○、×とおく。
内角の和から、○+×=90°
△DPO≡△DSOから、∠DOP=∠DOSなので、これらを△とおく。
○+○+△+△=180°(一直線)だから、○+△=90°になる。
○+×=90°で○+△=90°ということは、×=△
ここから、2角が等しいことにより、△OAQ∽△DOPが導ける。
OQ:QA=DP:PO=3:6=1:2
AQ=6×2/1=12
△OAQで三平方。AO=6√5cm


大問4(標本調査・確率)

(1)①x;94.9% y;91.7%
x…10~20の人数を数える。1組6人、2組12人だから、18。
y…1-(0.1+0.3+0.2+0.05)=0.35

②  18.2%!
ア。理由も記述する。
30人なので、15人目と16人目の平均値が中央値になる。
1組は20分以上30分未満の階級、2組は10分以上20分未満の階級に、
15人目と16人目の生徒がいる。

(2)  48.5%
答えが負になる式を挙げていく。
(-1)-(+1)
(-1)×(+1)
(+2)×(-3)計3通り。
全体は、2×2×2=8通り
3/8

大問5(立体図形)

(Ⅰ、Ⅱから指示された問題を答える)
Ⅰ(1)  54.9%
△AFPで、AP=6、BF=10
6×10÷2=30cm2

(2)  5.5%!!
ABを高さとすると、PFの長さは、
24×2÷10=4.8
BF=10-4.8=5.2
x=10+5.2=15.2

@公式解答@
10≦x≦20のとき、FP=20-x
10×(20-x)×1/2=24
x=76/5

(3)x; 0.8%!! y;0.0%!!!
BP+PMが最短→直線
展開図に引きなおす。

相似で、FP=10×10/15=20/3
x=20+20/3=80/3

△AFPの底辺をFP、高さをAFとする。
辺FGとAF(面AEFB)は垂直の関係
AFは正方形の対角線なので10√2
y=20/3×10√2÷2=100√2/3


Ⅱ(1)  43.9%
4秒後の様子を図示。

AP:AQ=1:2
CからABに向けて垂線をひき、交点をHとする。
これは正三角形は真っ二つにする線分なので、
∠AHC=90°であり、30°-60°-90°の直角三角形から、AH:AC=1:2
2辺の比と間の角が等しいから△AHC∽△APQ
∠APQ=∠AHC=90°
△APQで三平方→PQ=4√3
4×4√3÷2=8√3

(2)  2.5%!!
Pは10~15cm、Qは20~30cm動く。

PはBF上、QはAD上にくる。
AD//BFで、△APQの高さはAB=10(*四角形ABFDは正方形
AQ=24×2÷10=4.8
Qは、30-4.8=25.2cm進み、
Qの速さは2cm/秒だから、x=25.2÷2=12.6

*正八面体の断面が正方形である理由。

左は城南コベッツより。立方体の各面の中心をつなぐと正八面体になる。
断面は右のように、正方形の中に正方形が現れる。

@公式解答@
10≦x≦15のとき、AQ=30-2x
10×(30-2x)×1/2=24
x=63/5

(3)x;0.6%!! y;0.0%!!!
Ⅰよりやりにくいと思うのだが(゚Д゚;)
まずは位置確認。

ここらへんのどこかにいる。
△ABCに注目する。
CQ+QMの和が最短ということは直線となるが、
AB上のどこで反射するかわからない。
そこで、ABを対称の軸としてCを反対側に持ってくる

MはBCの中点。
2つの三角形の相似から、AQ:QB=2:1
AQ=10×2/3=20/3
したがって、Qが移動した距離は、30+20/3=110/3
Qが毎秒2cm動くので、x=110/3÷2=55/3

x=55/3から、Pは55/3cm進んでいる。
BP=55/3-10=25/3
PF=10-25/3=5/3
BP:PF=25/3:5/3=5:1
△APQの面積は、△ABF(正八面体を縦に割ったうちの左半分)で考える。

AFは、正方形AEFCの対角線だから10√2
BCは、AEFCと合同である正方形BCDEの対角線の半分で5√2。
△ABF⇒△ABP⇒△APQ
y=10√2×5√2÷2×5/6×2/3=250/9

大問3(平面図形)の後半は難しかった。
ラストはどっちも正解者0.0%なんですけど(笑)
公式解答では関数に代入して算出していましたが、
サボは幾何的にやっちゃいました。

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