2020年度 千葉県公立高校過去問・後期【数学】解説

平均59.0点(前年比-2.0点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)-89.2%

(1) 98.9%
6×(-3)
=-18

(2) 92.1%
9-(-4)2×5/8
=9-16×5/8
=-1

(3) 90.1%
2b×21b÷7a
=3ab2

(4) 88.4%
0.2x+1.5y=4 …①
x-3y=-1 …②
①×10→2x+15y=40…③
③-②×2
 2x+15y=40
-)2x-6y=-2
   21y=42
y=2
②に代入。x-6=-1
x=5
x=5、y=2

(5) 78.2%
12/√3-3√6×√8
=4√3-3√48
=4√3-12√3
=-8√3

(6) 87.2%
2+5x+5=0
因数分解できないので、素直に解の公式。
x=(-5±√5)/2

大問2(小問集合)-53.8%

(1) 82.3%
不等式の意味を答える。
イコールを含まないので【2000円より高い】→イ

(2) 56.4%
最頻値(モード)は、最も度数が現われている値。
解答する際は階級値で答えること。
すなわち、20と25の平均値→22.5m

(3) 65.1%

円周角定理より、∠AOB=32×2=64°
赤線でチョウチョウ型。
チョウチョウの羽の2角の和は同じ。
64+x=32+49
x=17°

(4) 34.7%
6枚から2枚を選ぶ→62=15通り

平均値が自然数になる組み合わせを拾い上げる。
(10、6)(10、-2)(6、-2)(3、-1)
この4通りしかない。
4/15

(5)6点-30.4%! 3点-5.0% 無答-26.8%
前期より方針は立てやすかった。
PはOBの中点なので、まずBの位置を特定したい。
底面の円においてBはAの反対側。
すなわち、弧AA’の真ん中にBがある

①∠AOA’の二等分線。
②OBの垂直等分線。
③AP、A’Pを結べばOK!

弦AA’を垂直に二等分してBをだしてもOK!
サボはこちらでやりました。


大問3(関数)-48.0%

(1) 77.7%
y=-x2より、B(3、-9)
『Aのy座標はBのy座標より10大きい』ので、
Aのy座標は-9+10=1
A(-2、1)をy=ax2に代入。
1=4a
a=1/4

(2)① 53.3%
A(-2、1)→B(3、-9)
右に5、下に10なので、傾きは-10/5=-2
Aから右に2いくと下に4さがるから、
切片は1-4=-3
AB;y=-2x-3

CはABとx軸との交点。
y=0を代入。
0=-2x-3
x=-3/2

② 12.9%!
面倒くさい(›´ω`‹ )

AB;y=-2x-3の切片から、下の高さは3cm。
逆さまのデカイ円錐から下にある逆さまの円錐を引き、
さらに、上にある平らな逆さまの三角錐をひけば出る…。

体積比は辺の比の3乗を使ってももちろんできるが、サボだったら高さの比から、
先に上のつぶれた円錐を取り除き、次に下の円錐を控除します。
2×2×π×4÷3×3/4-3/2×3/2×π×3÷3
=4π-9/4π=7/4πcm3

@別解@
回転体の問題をみると意地でもパップス=ギュルダンを使いたくなる体質(ノ)`ω´(ヾ)ウズウズ
回転体の体積=面積×重心の移動距離パップス=ギュルダンの定理)

△ACOの面積…3/2×1÷2=3/4cm2
△ACOの重心Gから回転の軸との半径GHが知りたい。
ADは中線で、DはCOの中点。
DO=3/2÷2=3/4cm
ED=2-3/4=5/4cm
△AFG∽△AEDでAG:AD=2:3(重心は中線を2:1に内分)から、
FG=5/4×2/3=5/6cm
GH=2-5/6=7/6cm

よって、3/4×7/6×2×π=7/4πcm3

大問4(平面図形)-53.9%

(1)
まずは、△BCD≡△ACEの証明から。

仮定から2組の辺が一緒なので、残りはあいだの角しかない。
∠BCA=∠DCEの各々から、あいだに挟まれる∠DCAをひけば、
∠BCD=∠ACEが導ける。合同条件は2辺とあいだの角。
a…ウ 91.1%
b…オ 93.9%

c…6点-23.3%! 3点-5.3% 無答-52.9%←|Д゚)?
ACが∠BAEの二等分線である証明。
先ほどの合同から、対応する角で∠EAC=∠DBC
△ABCは二等辺だから、∠DBC=∠BAC
以上より、∠BAC=∠EAC→ACは∠BAEの二等分線となる。
40分試験とはいえ平易。

(2) 7.3%!!
難所だが例年より正解率があがりそうな予感|д・)
わざわざ角度の情報が与えられているということは、角度を調査せよということ。

△ACEと△BCDは合同なので、△BCDで考える。
ACは∠BAEの二等分線だったので、∠BAC=50°
合同(もしくは二等辺)から∠ABC=50°、△ABCの残りで∠ACB=80°
∠DCB=80-20=60°←(*’ω’*)!!
これは使うしかない。
DからBCに垂線をひき、交点をHとすると、
△DCHの内角は30°-60°-90°より、1:2:√3の直角三角形
DH=4×√3/2=2√3cm
BC=AC=aだから、△BCD(△ACE)の面積はa×2√3÷2=√3acm2

大問5(数量変化)-32.3%

なんか趣向が変わってる(´゚д゚`)
(1) 82.4%
PはAB間を往復する。
図2より、20秒後にBに着いて折り返す。
20秒後

(2) 28.1%!
四角形PBCQの面積が最大となるには、
PBとCQの長さの合計が最長になればいい
言い換えると、PB=ABかつCQ=CDのとき。
もっと言い換えると、PがAにいてQがDにいるとき
グラフ上でAP=0、CQ=Maxとなるのは40秒後。

(3) 40.3%
問題文から、BE=DE=24÷2=12cm

グラフよりAP=20cmで折り返すということはAB=20cm
△ABEで三平方→3:4:5からAE=16cm
同様に、グラフよりCQ=13cmで折り返すのでCD=13cm
△CDEで三平方→5:12:13からEC=5cm
したがって、AC=16+5=21cm

(4)① 10.3%! 無答-59.5%
0≦x≦20は、PがAを出発してBに到着するまで。

△APCにおいて、ACを底辺とすると高さはPRにあたる。
PRはxに比例して長くなる
Pが20秒後にBへ着いたとき、PRの長さは12cmだから、
1秒あたりの変化の割合は12cm÷20秒=3/5cm
x秒後のPRの長さは3/5xcmとなる。
よって、S(△APCの面積)=21×3/5x÷2=63/10x

② 0.2%!!! 無答-69.2%
大問4(2)で油断してたら、ここでケガをする…(‘Д’)

△APCと△AQCは、ともに底辺がACで共通する。
ということは、高さが等しくなれば面積が等しい

△AQCにおいて、先ほどのPRのように考えると、
QUの変化の割合は1秒あたり12÷13=12/13
1秒間でPRは3/5cm、QUは12/13cmずつ変化する

14≦x≦20は、QがDに着いて折り返してから、PがBに着くまで。
高さPRとQUの長さを縦軸において関係性をグラフであらわす。

14秒後のPRは、3/5×14=42/5cm
このとき、QUとの高さの差は、12-42/5=18/5cm
ここから1秒あたりPRは3/5cm長くなり、QUは12/13cm短くなる。
1秒間で両者の差は、3/5+12/13=99/65cmずつ近づいていく
18/5cm÷99/65cm=26/11秒
よって、2つの三角形の面積が等しくなるときは、14+26/11=180/11
x=180/11
*数量変化は中学受験の解き方が染み込んでいるので、
高校受験界での王道な解法ではないかもしれません(;^ω^)
そちらは最寄りの数学教師にお尋ね下さい。

@別解@
こちらも先のダイヤグラムを使った、中学受験の戦法です。

PRが12cmとなるのは20秒、QUが12cmとなるのは13秒かかる。
同じ長さになるまでの時間の比はPR:QU=⑳:⑬


QUは13秒で片道を渡るので、グラフの27秒後(=1+13+13)に0cm。

左右の2つの三角形は高さが同じ。
三角形の高さは長さ。つまり、同じ長さだから先ほどの時間の比がそのまま当てはまる
時間の比はPR:QU=⑳:⑬だから、?の値は、27×20/33=180/11
これが最も処理手順の少ない解法かな?

50点未満は少数派。80点以上は15%ほど。
1計算は良く出来ている◎
2(2)モードはサービス問題だよ!
(3)角度の問題ではシンプル。取りこぼしたくない。
3(2)回転体の形がわかっても、処理を減らす工夫が求められる。
4(1)c証明は少ないステップでいけた。
尻込みせず、まずは等しい辺や角に印をつけてみよう。
(2)高さを知りたい→角度の問題に集約する。
5(4)②今年度で最も正答率が低かった0.2パー問題w(゚Д゚)w
前問のSのようにTを求めて一次関数だと、処理が煩雑になると思うのだが(;`ω´)
算数でやってしまった方が圧倒的に早い。
別解の習得には慣れが必要ですが、最初に挙げた解法は使いやすいんじゃないかな?

@2020年度千葉(前期)解説@
数学…平均51.4点 社会…平均60.7点 理科…平均48.8点 英語…平均54.6点 国語…平均46.0点
@2020年度千葉(後期)解説@
社会…平均62.1点 理科…平均59.7点 英語…平均51.5点 国語…平均54.7点
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QUIZ…☆4以上はムズいよ!
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