2021年度 東京都立高校入試過去問・分割後期【数学】解説

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出題範囲の除外は三平方の定理と標本調査。

大問1(小問集合)

(1)
-3-1/2×6
=-3-3=-6

(2)
(a+7)/4+(a-9)/8
={2(a+7)+(a-9)}/8
=(3a+5)/8

(3)
(3√5+6)(3√5-6)
=(3√5)2-62
=45-36=9

(4)
2(x+8)=7-x
3x=-9
x=-3

(5)
5x-3y=9 …①
y=x+1 …②

代入法でやって欲しい形|д・)
②を①に代入。
5x-3(x+1)=9
x=6
②に代入。y=6+1=7
x=6、y=7

(6)
2-5x-4=0
解の公式です。
x=(5±√41)/2

(7)
33kg以上は18人。
18/40=45/100=45%
あ…4、い…5

(8)

弧CDの長さを求めるには、中心角CODが知りたい。
OC・ODに補助線をひく。

AB//CDから、全体が左右対称である
∠BAD=∠ABC=30°
中心角は円周角の2倍。∠AOC=∠ABC×2=60°
同様に、∠BOD=60°
∠COD=180-(60+60)=60°

よって、弧CDの長さは、8×2×π×1/6=8/3πcm

(9)
△ABCの外接円の中心を作図する。

辺AB・BC・CAの垂直二等分線のうち、2本の交点がOとなる。

大問2(式の証明)

(1)
2π(a+1)-2πa=2π

(2)

1つずつ面積を求めていく。
P=π(a+3)2-π(a+2)2=2πa+5π
Q=π(a+2)2-π(a+1)2=2πa+3π
R=π(a+1)2-πa2=2πa+π

P-Q=(2πa+5π)-(2πa+3π)=2π
Q-R=(2πa+3π)-(2πa+π)=2π
P-Q=Q-R=2πで、題意は示された。


大問3(関数)

(1)
y=1/4x2において、
x=0のとき、最小値y=0
x=-4のとき、最大値y=4
0≦b≦4
①…エ、②…キ

(2)
A(-4、0)→P(4、4)
右に8、上に4なので、傾きは1/2。
Aから右に4、上に2移動して、切片は2。
y=1/2x+2
①…ウ、②…ア

(3)

面積が等しい△ABRと△ABQの高さはともに4。
底辺のBRとAQが等しい

Pのx座標をtとする。P(t、1/4x2
AQ=BR=t+4
Pのy座標で等式を立てる
1/4t2=t+8
2=4t+32
2-4t-32
=(t-8)(t+4)=0
t>4より、t=8
Pのx座標は8。

大問4(平面図形)

(1)

AD//BCの錯角で130°を下におろす。
二等辺三角形BMPで外角定理→∠BMP=130÷2=65°
∠DMP=180-65-a=(115-a)°

(2)
△AMD∽△CQPの証明。


平行四辺形の対角は等しい。∠MAD=∠QCP
AB//DCの
錯角、DM//QPの同位角で∠AMD=∠CQP
2角が等しく∽。


PQは△CPQの1辺。MRは△AMDの1辺の一部。
そこで前問の△AMD∽△CQPが使えないか模索する。

BP:PC=
対辺AD=
△AMD∽△CQPより、AM:CQ=
DM:PQ=

MはABの中点なので、MB=
DQ=
△AMR∽△QDRより、MR:RD=3:5
MR=×3/8=〇9/8

PQ:MR=〇9/8=8:9
う…8、え…9


大問5(空間図形)

(1)

P・M・Qは各辺の中点。
△APMと△ACD、△DMQと△DABに中点連結定理を適用。
MP=MQ=6÷2=3cm

PQに補助線。△ACQをとらえる。
AQは正三角形ABDの高さ。1:2:√3の直角三角形からAQ=3√3cm
同様に、CQは正三角形BCDの高さ。CQ=3√3

△ACQはAQ=CQ=3√3の二等辺三角形
頂角Qから底辺ACの中点であるPを結ぶと、QP⊥ACとなる。
△APQで三平方→PQ=3√2cm

△MPQの各辺の比は。3:3:3√2=1:1:√2
△MPQは直角二等辺二等辺で、∠PMQはこの頂角だから90°。
お…9、か…0

@別解@

BCの中点をNとする。
中点連結定理でPN=NQ=3cm
四角形PNQMは4辺が等しい菱形である

ここから対角線PQ=MNがいえないか。。

MNは△BCMの高さ、QPは△ACQの高さである。
BC=AC=6cm
MBとMC、QAとQCは側面の正三角形の高さにあたり、すべて長さが等しい。
3辺が等しく、△BCM≡△ACQとなり、これらの高さにあたるMN=QPがいえる。
菱形PNQMの2本の対角線が等しいことから、四角形PNQMは正方形である。
∠PMQ=90°

(2)

三角錐M-BCDの底面を△BCD、三角錐M-APQの底面を△APQとすると、
MDとMAが同一直線上にあるので、高さの比はMD:MAとなる
AM=MDだから、高さが等しい!
ということは、三角錐M-BCDと三角錘M-APQの体積比は、
底面積である△BCD:△APQの面積比に相当する。

8秒後のPはCから4cm、QはBから4cmのところにあり、
CP:PB=BQ:QA=4:8=1:2

△BCDの面積を【1】とする。
【△ABC⇒△ABP⇒△APQ】
1×2/3×2/3=4/9

立体M-BCD:立体M-APQ=1:4/9=9:4
したがって、立体M-BCDは立体M-APQの9/4倍。
き…9、く…4
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