2024年度　千葉県公立高校入試問題過去問【数学】解説

問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）

（１）①
－４＋12÷２
＝－４＋６
＝２

②
ａ²ｂ÷３ａｂ×（－９ａ）
＝－３ａ²

③
（√７＋√３）（√７－２√３）
＝７－２√21＋√21－６
＝１－√21

（２）①
ｘ²＋２ｘ＝５
ｘ²＋２ｘ－５＝０
ウ

②
解の公式を適用する。ｘの係数が偶数なので、ｂ＝２ｂ’が使える。
ｘ＝－１±√６
あ…－、い…１、う…６

（３）①
全数調査は調査対象すべてを調べ上げる。
標本調査は母集団のなかから標本を無作為に抽出して、母集団の様子を推し量る。
ア：総務省統計局が５年に１度行う国勢調査は全数調査の代表例。
　　国の基礎的な統計資料として国策の判断に使われる。
ウ：健康診断も個々人のデータをとらなければ意味がないので全数調査。
エ：進路希望調査も同様。
＠＠
イ：水質調査はすべての川の水を調べ上げるのは不可能なので標本調査を行う。
イ

＠テレビの視聴率＠
標本（サンプル）の大きさはどの程度求められるか。
大学レベルの統計学の知識が求められると思うのでサボにはわかりませんが、視聴率を計測する機器が設置されているテレビの台数は、全体の0.01％にも満たないようです。
視聴率調査に協力している人を全く見掛けない理由（ねとらぼ）
↑この記事によると、2017年10月時点で調査対象世帯は全体の0.00005％以下となっている…。

それだけで残りの99.999…％以上を推し量って良いものなのか疑問に思われますが、統計学的には十分信頼するに足りるサンプル数なんだとか。どうやら母集団が大きくなるほど、標本の大きさは思ったより小さくても間に合うようです。反対に母集団が小さいと（例えば１クラス内の動向では）多くの標本をとらなければならない。

②
抽出した10個のうち、オレンジ：白＝③：⑦
オレンジは全体で30個だから、白の全体は、30×⑦/③＝70個
え…７、お…０

（４）①

どこかを底面に見立てて組み立てればいい。
もしくは、４つの面がストレートに並ぶところを側面とすると、
エの残り２面は天井と床に分かれず、かぶってしまう。
エ

②

最短距離なので展開する。ＡＨは３面をまたぐ。
辺の比は３：９＝①：③→三平方で〇√10
ＡＨ＝３×〇√10＝３√10ｃｍ
か…３、き…１、く…０

（５）①
全体は６×６＝36通り
ｙ＝ｘ上にある→ｘとｙの値が同じ。
（１、１）～（６、６）のゾロ目を出す。６通り
確率は、６/36＝１/６
け…１、こ…６

②

半径４ｃｍの円を描く。
軸上はｘ＝０かｙ＝０だから含まない。
４ｃｍ『以下』なので円周上も含むが、該当する点はない。
上図の８通りで、確率は８/36＝２/９
さ…２、し…９

（６）①

弧ＢＣの円周角より、ｘ＝∠ＢＤＣ＝63°
す…６、せ…３

②

△ＥＢＤの外角定理で、∠ＥＢＤ＝63－38＝25°
弧ＡＤの円周角で、∠ＡＣＤ＝25°

ブーメランの股の角は３つの角の和。
ｙ＝38＋25＋25＝88°
そ…８、た…８

（７）①
円錐の扇形の中心角が90°であることに着目する。
側面の扇形の中心角：底面の円の中心角＝90：360＝１：４
側面の扇形の半径（母線）：底面の円の半径は逆比で４：１。
側面の扇形の半径は、底面の円の半径の４倍である。
ち…４

②

扇形の中心をＢとすると、接点はＡだから中心Ｏは半直線ＢＡ上にある。
底面の円の半径はＡＢの４分の１の長さ。
ＡＢの垂直二等分線で半分、さらに半分にした点をＣとするとＡＣが円の半径。
Ａに対してＣを反対側にもってきた点がＯである。
①半直線ＢＡをひく。
②垂直二等分線を２回行い、ＡＢの４分の１であるＡＣをつくる。
②Ｃを反対側に移動させる。

大問２（関数）

（１）①

ｙ＝１/２ｘ²にｘ＝３を代入。
ｙ＝１/２×３²＝９/２
つ…９、て…２

②
Ｑはｙ軸についてＰと対称→Ｑ（－３、９/２）
平行四辺形の対辺は等しいから、ＱＰ＝ＳＲ＝６
Ｒのｘ座標は６、これをｙ＝１/２ｘ²に代入してＲ（６、18）

Ｑ（－３、９/２）→Ｒ（６、18）
傾き＝変化の割合＝ｙの増加量÷ｘの増加量
＝（18－９/２）÷{６－（－３）｝＝27/２÷９＝３/２

ｙ＝３/２ｘ＋ｂに（６、18）を代入する。
18＝３/２×６＋ｂ
ｂ＝９
と…３、な…２、に…９

（２）

Ｐ（ｐ、１/２ｐ²）とする。
ＰＱ＝２ｐ→Ｒのｘ座標は２ｐだから、ｙ＝１/２ｘ^２に代入してｙ座標は２ｐ²。
ＳＨ＝２ｐ²－１/２ｐ²＝３/２ｐ²

３/２ｐ²＝２ｐ×２
３/２ｐ²－４ｐ＝０
３ｐ²－８ｐ
＝ｐ（３ｐ－８）＝０
ｐ＞０より、ｐ＝８/３
ぬ…８、ね…３

＠余談＠
本問は方程式で解いた方が速いですが、最近ここらで裏設定を見かけるので調べてみました。
興味のある方はご覧ください。

（１）ＯＰの傾きは３/２なので、ＱＲとＯＰは平行です。
（２）ＳＨ＝２ＰＱより、ＳＨ＝４ＱＨ
ＱＨ＝①とすると、ＳＨ＝④
切片をＴとすると、△ＴＱＨ：△ＴＲＳ＝ＴＨ：ＳＴ＝１：２→ＴＨ＝④×１/３＝〇４/３
ＱＴの傾きは４/３→ＯＰ；ｙ＝４/３ｘ

Ｐはｙ＝１/２ｘ²とｙ＝４/３ｘの交点なので、
１/２ｘ²＝４/３ｘ
ｘ（１/２ｘ－４/３）＝０
ｘ＞０だから、ｘ＝８/３

大問３（平面図形）

（１）
△ＥＢＣの内角より、∠ＥＣＢ＝180－（90＋45）＝45°
∠ＥＢＣ＝∠ＥＣＢ＝45°だから、△ＥＢＣは直角二等辺三角形。
よって、ＥＢ＝ＥＣ
ａ…イ、ｂ…ウ、ｃ…カ

（２）
△ＥＢＦ≡△ＥＣＡの証明。

∠ＢＥＦ＝∠ＣＥＡ＝90°
ＥＢ＝ＥＣ
△ＥＢＦの内角で∠ＥＦＢ＝●、∠ＥＢＦ＝×とする。●＋×＝90°
対頂角で、∠ＤＦＣ＝●
△ＤＣＦの内角より、∠ＤＣＦ＝180－（90＋●）＝×
よって、∠ＥＢＦ＝∠ＥＣＡ
１辺と両端角が等しいので合同。

＠別解＠

∠ＢＥＣ＝∠ＢＤＣ＝90°に注目して、円周角の定理の逆からＢＣを直径とする円を描き、
弧ＥＤに対する円周角から、∠ＥＢＦ＝∠ＥＣＡを指摘できる。

（３）
難問です(;´･ω･)
初手でミスると迷子になる。

どこかで相似を使いたいが、ＢＦが浮いている。
問題文ではＡＣ＝15ｃｍではなく、わざわざＡＤ＝９ｃｍ、ＤＣ＝６ｃｍと分けている。
ＡＤとＤＣを１辺とする三角形に着目し、ＢＦとＡＣの間にあるＦＤをｘとおくと…

△ＡＢＤ∽△ＦＣＤが使える！
ＡＤ：ＤＢ＝ＦＤ：ＤＣ
９：（15＋ｘ）＝ｘ：６
内項と外項の積から、ｘ（15＋ｘ）＝54
ｘ²＋15ｘ－54
＝（ｘ＋18）（ｘ－３）＝０
ｘ＞０より、ｘ＝３

△ＤＣＦで三平方→ＦＣ＝３√５
△ＤＣＦ∽△ＥＢＦより、相似比は15：３√５＝５：√５
面積比は２乗して⑤：①なので、△ＥＢＦの面積は、３×６÷２×⑤＝45ｃｍ²
の…４、は…５

＠余談＠
実は12年前のラス問に似た構図が出ています。

2012年千葉前期（大問５－３）より。
ホワイトボード時代の解説です(;´∀｀)
正答率は資料損失により不明ですが、相当低かったと思われます。

＠別解＠
寄せられたコメントによると、Ｅから２本の垂線を引く方法があるようです。
私なりの解法を考えてみました。

Ｅから垂線をひき、ＢＤ、ＡＣとの交点をＰ、Ｑとします。
（２）△ＥＢＦ≡△ＥＣＡより、対応するＦＢ＝ＡＣを底辺と見立てると、
高さにあたるＥＰ＝ＥＱがいえます。
四角形ＥＰＤＱは４つの角が直角で、隣り合う辺が等しいから正方形です。

ＥＰ＝ＥＱ、∠ＥＰＦ＝∠ＥＱＡ＝90°
●＋×＝90°で角度を移すと、∠ＦＥＰ＝∠ＡＥＱ
１辺と両端角が等しく、△ＦＥＰ≡△ＡＥＱ
対応する辺から、ＦＰ＝ＡＱ
ということは、ＡＱ＋ＱＤ＝ＦＰ＋ＰＥ＝９ｃｍ

同様に●＋×＝90°を使うと、二角相等で△ＦＥＰ∽△ＥＢＰ
最も短いＦＰ＝ｘとすると、ＰＥ＝９－ｘ
ＰＢ＝15－ｘ

ＦＰ：ＰＥ＝ＥＰ：ＰＢ
ｘ：（９－ｘ）＝（９－ｘ）：（15－ｘ）
内項と外項の積で、（９－ｘ）²＝ｘ（15－ｘ）
ｘ²－18ｘ＋81＝15ｘ－ｘ²
２ｘ²－33ｘ＋81
＝（２ｘ－27）（ｘ－３）＝０
ｘ＜９より、ｘ＝３
ＥＰ＝９－３＝６ｃｍ
したがって、△ＥＢＦの面積は、15×６÷２＝45ｃｍ²

大問４（方程式）

（１）①

△ＯＡＢ∽△ＯＰＱ、相似比は高さの比からＯＭ：ＯＮ＝１：２
ＰＱはＡＢの２倍。
ひ…２

②
今度はＰＱ＝４ＡＢにしたい。
ＯＭ：ＯＮ＝１：４→ＯＭ：ＭＮ＝１：３
ふ…１、へ…３

③

ＯＰの格子点に注目すると、右に４、上に１だから傾きは１/４。
ＯＰは原点を通る比例→ｙ＝１/４ｘ
ｘ＝10を代入して、ｙ＝１/４×10＝５/２
ほ…５、ま…２

（２）

Ｏ’Ｈ：Ｏ’Ｐ＝６：４＝③：⑤
Ｏ’とＨのｙ座標の差はｎ－１。
Ｏ’とＰのｙ座標の差は、（ｎ－１）×⑤/③＝５/３ｎ－５/３
Ｐのｙ座標ｐ＝ｎ－（５/３ｎ－５/３）＝－２/３ｎ＋５/３

Ｏ’Ｆ：Ｏ’Ｑ＝②：⑤
同様に、Ｏ’とＱのｙ座標の差は、（ｎ＋１）×⑤/②＝５/２ｎ＋５/２
Ｑのｙ座標ｑ＝ｎ－（５/２ｎ＋５/２）＝－３/２ｎ－５/２
ａ…ｐ＝－２/３ｎ＋５/３、ｂ…ｑ＝－３/２ｎ－５/２

（３）
ＰＱ＝ｐ－ｑ
＝（－２/３ｎ＋５/３）－（－３/２ｎ－５/２）
＝－２/３ｎ＋５/３＋３/２ｎ＋５/２
＝５/６ｎ＋25/６＝100　←６倍

５ｎ＋25＝600
ｎ＝115
み…１、む…１、め…５