2019年度 埼玉県公立高校入試問題【数学】解説

平均41.7点

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)  95.4%
-2a+5a=3a (なんというサービス問題!

(2)  93.1%
(-8)÷(-4)-1
=2-1=1

(3)  67.9%
3x2÷(-y2)×2xy3  (-y)2じゃないよ!
=-63

(4)  85.5%
10/√5-√45
=2√5-3√5=-√5

(5)  89.9%
2+6x-27
=(x+9)(x-3)

(6)  85.3%
連立方程式。①の式を②に代入すると、、
x-2(5-3x)=4
x-10+6x=4
7x=14
x=2
①に代入、y=5-3×2=-1

(7)  80.6%
因数分解ができないので解の公式を適用。
x={-(-3)±√(-3)2-4・2・(-1)]/2・2
=(3±√17)/4

(8)  53.8%
傾きは、右に6、上に3→1/2
あとは、y=1/2x+bに放り込んで切片を求める。
0=1/2×(-2)+b
b=1
y=1/2x+1

(9)  67.3%

↑ここに着目する。
こういう蝶々型は先端の角の和が等しい(対頂角で相殺できるから)。
25+60=x+45
x=40°

(10)  46.8%(一部正答17.1%)
関数の正誤判定。
ア:代入してみると×!
イ:左右対称なのでy軸について対称○
ウ:最小値はx=0のとき、y=0。y=ax2のグラフは原点を通る。
  y変域は0≦y≦4。×!
エ:(42-22)/(4-2)=6○
  y=ax2のグラフにおいて、p→qの変化の割合はa(p+q)だから、
  1(2+4)=6でもいける。
オ:xが減るとyも増加。×!

(11)①  32.1%!
赤い布をx枚使ったとする。
最初の布は50cm。2枚目以降は縫い目を引いた45cmずつ増えていく。
合計で500cmになればいい。
50+45(n-1)=500
x=11 →11枚

〔全体の長さ-縫い目の合計=500〕でも可。
50n-5(n-1)=500
n=11  同じだね!(p_-)

②  0.6%!!!(一部正答3.2%、無答54.9%!)
記述式。
公式解答ではいきなり45x+25y+5=500とある( ゚Д゚)
これは、つなぎ目分の5cmを初めにカウントしておいて、
それ以降は赤を1枚たすと45cm、白を1枚たすと25cmのびるから。
45x+25y+5=500
45x+25y=495
9x+5y=99
式が1つしかない(´゚д゚`)
いわゆる不定方程式で地道に代入するしかない。。
赤の布は500÷50=10で白い布も使うから、0<x<10となる。
(x、y)=(1、18)(6、9)

不定方程式の攻略が厄介。
コツとしては、x=1をいれると、5y=90とキリ良くなるので、
つぎに5の倍数をつくるには、xに1+5=6を代入する。

@公式解答の別解より@
45x+25y+5=500をxについて解いて、
x=11-5/9y
xは自然数なので、yは9倍数でなければならない。
(x、y)=(1、18)(6、9)

大問2(小問集合)

(1)  27.7%!
標本調査。
30個の抽出で、白:オレンジ=24:6=4:1
この割合は母集団も変わらないとする。
最初の白は、50×4/1=200個

(2)  10.4%!!
高ささえわかれば・・・(›´ω`‹ ) 

これが見えたらしめたもの。
6×6×1/2×(6×2/3)×1/3=24cm3

(3)  21.4%!(一部正答16.2%)
105°の作図(*’ω’*)
105=45+60
公式解答では、Aを通る直線ABの垂線をひき、その2等分線を作成(45)。
左側に正三角形をつくって60を足す。
コンパスでつくりやすい角度は垂直の90°、正三角形の60°
これらの二等分線で45°と30°
4つをうまく組合せて105を作る。
遠回りだが、75(=60+30÷2など)を作って105(=180-75)もできる。

(4)  9.8%!!(一部正答30.3%)
平行四辺形の証明。
平行四辺形であるための5つの条件を覚えているかな?(σ’д’)σ

問題集で見かけた人もいると思う。
使うべきは『対角線が各々の中点で交わる』。
★-〇=△を丁寧に記述すること!

大問3(関数)

(1)  45.4%

2×3×1/2=3cm2
Dのy座標いらなかった(;^ω^)w

(2)  2.0%!!
△ADC:△CDB=4:1
AC:CB=4:1
このあとが手詰まる(‘Д’)
AとBはy=1/2x2とy=ax+2の交点にある
Bのx座標をsとおいて座標をだす。
Aのx座標は-4s。

こうなる。
ここからy座標をいじる
2つのグラフの交点からy座標で
等式を作る。
〔A〕
8s2=-4sa+2
8s2+4sa-2=0…①
〔B〕
1/2s2=sa+2
2-2sa-4=0…②

連立方程式の要領で①-②×2
  8s2+4as-2=0
+)2s2-4as-8=0
 10s2    -10=0
s=1
B(1、1/2)
C→Bは右に1、下に3/2
よって、傾きa=-3/2

@公式解答より@

△ADC:△CDB=4:1
AC:CB=4:1
上のような補助線をひいて、E、Fをつくる。
△ACE∽△BCF
EC:CF=4:1

Bのx座標をtとすると、Aのx座標が-4t
E(0、8t2) F(0、1/2t2
EC(8t2-2):CF(2-1/2t2)=4:1
t=±1
t>0より、t=1
A(-4、8)となり、a=-3/2

大問4(平面図形)

(1)  35.3%
直径ABに対する円周角APBは90°
∠ABP=60°なので、
△PABは〔30°-60°-90°〕→1:2:√3の直角三角形
AP=6×√3/2=3√3
PM=3√3×1/3=√3cm

(2)①  0.3%!!!
記述式。
BQを折り目としてPとOが重なるということは、
BQを対称の軸として線対称の関係にある。
これを示すには△OBPに注目する。以下、公式解答を参考。

∠PBO=60°と半径を手がかりに△OBPは正三角形。
△PBMは前問よりPM=√3、BP=3、∠BPM=90°
△PBMは1:2:√3の直角三角形。
∠PBM=30°
∠PBO=60°なので、QBは∠PBOの二等分線となり、
△OBPは正三角形だから、底辺であるOPを垂直に二等分する。
公式解答の文章は飛び飛びな印象がある(;’∀’)
どの程度の指摘で足りるか迷う。

②  0.3%!!! 
ラストの求積。幾何的な発想力が求められる。
実は正三角形が3つある。

なんとなくMがOの真上にあるのでは?と感じた人もいたと思う。
AQとQOをひく。
△OBQは半径から二等辺。ORは底辺BQを垂直に二等分する。
△ORQは30°-60°-90°の直角三角形。
これをもとに角度を調べていくと、△AOQも△OPQも正三角形になる。
図形全体が線対称で、QP//ABとなる。
 
等積変形で△OQP=△BQPとなる。

四角形QOPM(赤)=△QOP-△QMP
△MBP(黄)=△QBP-△QMP
△QOPと△QBPから、共通する△QMPをひくので、
四角形QOPM=△MBPとなる。
つまり、求積すべきところは、60°の扇型から△MBP(黄)をひけばいい

3×3×π×1/6-3×√3×1/2
=3/2π-3/2・√3cm2
ちゃんと前問でつかった数値を利用するので、ありがたい(*’ω’*)

@別解@

まとめて等積変形しなくても、四角形QOBPは平行四辺形で、
Rは対角線OPとQBの中点だから、△QORと△BPRは合同。
ここから左の面積を右に移して、△MBPとしてもいい。

@別解2@

移動させなくても分割で攻略もできる。
Mは正三角形QOPの重心にあるので、△QMPは正三角形の3分の1。
扇型から正三角形の3分の2を引けばいい。

@余談@
 
正六角形の分割。
中学受験では馴染みのある図形で、覚えておくと便利かも(‘ω’)
弧QPは円周の6分の1で、弦QPは直径と平行かつ半分の長さになる。
サボの解法はこれがもとになっています。

さらにいじってみると、一辺が√3の正三角形が12個できる。
3×3×π(円)-√3×3/2×1/2×12(中のヤツ)
=9π-9√3
これを6で割る。
(9π-9√3)÷6=3/2π-3/2・√3cm2

@公式解答より@

平行線はマイナーだったか(;`ω´)

記述式であったとはいえ、不定方程式の正答率が悲惨凄惨(;´・ω・)
大問2、3(1)、4(1)ももう少し正解して欲しかった。
サイタマはまだやれるはず。。。

2019年度(埼玉) 社会…平均59.3点 理科…平均43.8点 英語…平均47.1点
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