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大問１（小問集合）
（１）
７＋３×（－４）
＝７－12
＝－５
（２）
５（２ａ＋ｂ）－（３ａ－ｂ）
＝10ａ＋５ｂ－３ａ＋ｂ
＝７ａ＋６ｂ
（３）
√18＋14/√２
＝３√２＋７√２
＝10√２
（４）
反比例はｘとｙの積が比例定数ａで一定。
ｙ＝－４×３÷６＝－２
（５）
ｘ（ｘ＋７）＝８（ｘ＋９）
ｘ2＋７ｘ＝８ｘ＋72
ｘ2－ｘ－72
＝（ｘ＋８）（ｘ－９）＝０
ｘ＝－８、９
（６）
23÷65＝0.353…≒0.35
（７）
ｙ＝－１/２ｘ2のグラフを描く。
ａ＜０なので、上に凸のグラフ。
通過すべき格子点は原点Ｏ・（－２、－２）・（２、－２）の３点。
（８）
13人の中央値は７番目の値。
第３四分位数は上位６人の真ん中、上から３番目と４番目の平均。
53と56の平均→差の３÷２＝1.5だから54.5個。
（９）
60人中45人が興味アリ。この割合は母集団も同じとみなす。
全体は560人だから、560×45/60＝420人
大問２（確率）
（１）
余事象。
【少なくとも１個は白＝全体－２回とも赤】
全体は４×４＝16通り、２回とも赤は１通り。
少なくとも１個は白である確率は、１－１/16＝15/16
（２）
順番の違いで確率が変動しない理由を、樹形図か表を使って説明する。
公式解答より。
白を出す確率は左のＡが３/４、右のＢが９/12＝３/４で変わらない。
＠余談＠
数学の世界ではモンティ・ホール問題という確率にまつわる有名なトピックがあります。
高校数学の美しい物語より。
結論をいうと、扉を変えた方が正解の確率は上がります。
詳細はリンク先を読んでください。高校数学では”条件付き確率”で扱います。
『新情報を得ると、確率は変動する可能性がある』という点はおさえておきましょう。
大問３（整数）
（１）
ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）
＝３ｎ＋３
＝３（ｎ＋１）
ｎ＋１が整数だから、３（ｎ＋１）は３の倍数。
（２）
（ｎ＋１）（ｎ＋２）－ｎ（ｎ＋１）
＝ｎ2＋３ｎ＋２－ｎ2－ｎ
＝２ｎ＋２
＝２（ｎ＋１）
真ん中の数ｎ＋１を２倍した数になる。
さらに、２ｎ＋２＝ｎ＋（ｎ＋２）に変形すると、最も小さい数と最も大きい数の和になる。
Ａ…２（ｎ＋１）、Ｂ…ウ
（３）
最も小さい数をｍとすると、連続する３つの整数はｍ、ｍ＋１、ｍ＋２となる。
（ｍ＋１）2－１
＝ｍ2＋２ｍ＋１－１
＝ｍ（ｍ＋２）
したがって、連続する３つの整数のうち、真ん中の数の２乗から１をひいた差は、
最も小さい数と最も大きい数の積になる。
（４）
連続する４つの整数をｎ、ｎ＋１、ｎ＋２、ｎ＋３とする。
Ｘ＝ｎ＋（ｎ＋１）＝２ｎ＋１
Ｙ＝（ｎ＋２）＋（ｎ＋３）＝２ｎ＋５
ＸＹ
＝（２ｎ＋１）（２ｎ＋５）
＝４ｎ2＋10ｎ＋２ｎ＋５
＝４ｎ2＋12ｎ＋５
これが何かの４の倍数にしたい→４でくくる必要がある。
前半の４ｎ2＋12ｎは４でくくれるが、５がくくれない。
そこで、５＋３＝８にして定数項も４の倍数にする。
４ｎ2＋12ｎ＋５＋３
＝４（ｎ2＋３ｎ＋２）
＝４（ｎ＋１）（ｎ＋２）
３を足すと、２番目に小さい数と２番目に大きい数の積の４倍になる。
Ｑ…３、Ｃ…ウ
大問４（数量変化）
（１）
200kWh以下なので、１kWhあたり24円。
400＋24×80＝2320円
（２）
ａ＞400→基本料金（切片）は400を超える。
ｂ＜24→前半はＡより傾きが緩やか。Ａに追い越される。
ｃ＞20→後半（とくに200kWh以降）はＡより傾きが急。Ａを追い越す。
イ
（３）
Ｃ社をグラフに追記する。
ＣがＡより安くなるのは、150kWhから再び２直線が交わる点のあいだである。
うしろの交点のｘ座標が答えである。
Ａの傾きは１kWhごとに20円なので20。
Ｃの傾きは（8400－4000）÷（350－240）＝40
最後を取り上げる。
最終的にＡとＣの差は200円になる。ここから逆再生する。
Ａを20、Ｃを40ずつ戻していくと、１kWhごとに40－20＝20円ずつ差が縮まる。
200÷20＝10kWhで差がなくなる。
350－10＝340kWh
大問５（平面図形）
（１）
垂線の作図法の理由。
ＢＣ上の点い・うをＰ・Ｑとする。
Ｐ・Ｑからそれぞれ等しい半径の円を描き、交点をＲとする。
ＡとＲを結ぶと、ＡＲ⊥ＰＱになる。
ＡとＲはＰ・Ｑから等距離にある点で、ＡＲを対称の軸とするとＰとＱは対応する点である。
△ＡＰＲと△ＡＱＲは線対称で合同。
対応する点を結んだＰＱと対称の軸ＡＲは直交する。
点Ｐ、Ｑとする２点…い・う、図形…ア
（２）
△ＡＦＥ∽△ＢＣＥの証明。
ＢＥ⊥ＡＣより、∠ＦＥＡ＝∠ＣＥＢ＝90°
もう１つの等角は直角を利用する。
∠ＥＡＦ＝×とする。
△ＡＤＣの内角である∠ＤＣＡ＝●とすると、●＋×＝90°
△ＢＣＥの内角から、∠ＥＢＣ＝90－●＝×
∠ＥＡＦ＝∠ＥＢＣ
２角が等しいので∽。
（３）
直径に対する円周角は90°
直角三角形の斜辺の中点を中心とする円を描くと、３つの頂点は同一円周上にある。
さらに、斜辺を共有する２つの直角三角形では４点が同一円周上にある。
直径をＡＢとすると、４点Ａ、Ｂ、Ｄ、Ｅが同一円周上、
直径をＣＦとすると、４点Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆが同一円周上にある。
（Ａ、Ｂ、Ｄ、Ｅ）（Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ）
（４）
辺の情報が下に偏っているので、相似を用いて上の情報を探りに行く。
60°と90°といえば１：２：√３の有名三角形だが、なるべく無理数の√３は避けたい。
△ＢＣＥに着目。
ＢＣ：ＣＥ＝２：１だから、ＣＥ＝16÷２＝８ｃｍ
△ＡＣＤに着目。
ＡＣ：ＣＤ＝２：１だから、ＡＣ＝５×２＝10ｃｍ
ＡＥ＝10－８＝２ｃｍ
△ＡＥＧ∽△ＣＥＢより、辺の比はＡＥ：ＣＥ＝２：８＝①：④
四角形ＡＢＣＧの面積を１とする。
【方針；四角形ＡＢＣＧ→△ＡＢＧ→△ＡＢＥ】
四角形ＡＢＣＧを上底ＡＧ（①）：下底ＢＣ（④）＝△ＡＢＧ：△ＢＣＧに分ける。
△ＡＢＥの面積は、四角形ＡＢＣＧの１×①/⑤×④/⑤＝４/25倍
大問６（空間図形）
（１）
ねじれの位置→延長しても交わらない、かつ平行でもない。
ＡＤとネジレにあるのはＢＦ・ＣＧ・ＥＦ・ＨＧ。
このうち面ＥＦＧＨに垂直なのは辺ＢＦ、辺ＣＧ。
（２）
最短距離なので展開図を作成。
ＥはＡＨの中点。
△ＡＰＥ∽△ＡＣＨより、ＥＰ＝12÷２＝６ｃｍ
ＰＦ＝８－６＝２ｃｍ
△ＡＥＰ∽△ＱＦＰより、ＦＱ＝４×２/６＝４/３ｃｍ
△ＰＦＱで三平方→ＰＱ＝２√13/３ｃｍ
（３）
Ｋの位置を特定したい。
ＥＫ＝ＫＣ＝ｘとする。
ＫＦ＝８－ｘ
ＫＣを対角線とする直方体をつくり、対角線ＫＣで方程式を立てる。
ｘ2＝（８－ｘ）2＋４2＋４2
ｘ2＝64－16ｘ＋ｘ2＋16＋16
16ｘ＝96
ｘ＝６
ところで、ＥＩ・ＩＣ・ＣＪ・ＪＥは等辺４ｃｍの直角二等辺の斜辺である。
四角形ＥＩＣＪは４辺が等しい菱形。
正四角錐Ｋ―ＥＩＣＪを面ＫＪＩで分割すると左右対称である。
正四角錐Ｋ―ＥＩＣＪ＝三角錐Ｋ―ＥＩＪ×２
Ｋ―ＥＩＪをＩ―ＥＫＪで捉えると、底面は△ＥＫＪ、高さは４ｃｍにあたる。
したがって、四角錐の体積は、６×４÷２×４÷３×２＝32ｃｍ3
後半の大問の後半の小問は思考力レベルが高い。
大問１
配点18点。基本レベルゆえ落としたくない。
（６）小数第２位まで求める→小数第３位を四捨五入する。
大問２
１回目に取り出した玉を戻すか戻さないかを見逃さない。
（２）白玉は区別する。それを樹形図にきちんと記す。
大問３
式の変形はサッとできるようにしたい。
（２）２ｎ＋２を２（ｎ＋１）以外の形に変える。
（４）Ｘ、Ｙをｎで表して積を計算してみる。
何かの４の倍数という結果から逆算して、不足分をＱで補う。
補った式を４でくくると、Ｃの中身がわかる。
大問４
（２）良い問題だと思う。
（３）正確なグラフを描く。計算に必要な数値はグラフ上にもある。
ｘ＝350のときの差が200。変化量の差から後ろに戻す。
大問５
（１）実際に描いてみよう。
（２）直角が多いので、●＋×＝90°を用いて三角形をうまく乗り換える。
（３）同一円周上の４点→等しい円周角を探す。（円周角の定理の逆）
（４）１：２：√３からＢＦなどを求めたくなるが、
なるべく１：２のみで上の情報を探りに行けないかを考える。
大問６
（１）ネジレにもう１つ条件が加えられた。
（２）ＰＱを斜辺とする直角三角形の他２辺を相似から求める。
（３）ＫＣが立体の内部を通る直線なので、直方体の対角線から方程式を立てる。
断面の四角形ＥＩＣＪの特徴をつかむ。
求めたい正四角錘の半分である三角錐は底面が△ＥＫＪ（もしくは△ＥＫＩ）で、
直方体の面上にある三角形だから体積が出しやすい。
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