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2020年度 宮城県公立高校入試過去問【数学】解説

平均44.5点(前年比;-1.4点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
7-12
=-5

(2)
-9/10÷5/4
=-18/25

(3)
3(4x+y)+2(-6x+1)
=12x+3y-12x+2
=3y+2

(4)
6a2b×2b÷3ab
=4ab

(5)
√32-√18+√2
=4√2-3√2+√2
=2√2

(6)
2-5x-24
=(x+3)(x-8)=0
x=-3、8

(7)
試しにa=-3を代入してみる。負の数の代入はカッコでくくること!
ア:2a=-6 イ:-(-3)2=-9 ウ:{-(-3)}2=32=9
エ:-√(-3)2=-√9=-3 オ:√(-3)2=√3
ウ・オ

(8)
△ABDの内角は30°-60°-90°

求積すべき範囲の頂点の1つがE。
また、Eは円周上の点でもあるので、Eと中心Aを結んでみる
∠EBA=60°、半径からAE=AB
△ABEの内角がすべて60°となり、△ABEは正三角形

∠CAE=90-60=30°
△AEDから扇形AEC(半径4cm中心角30°
)をひけば斜線部分の面積がでる
△ABDの辺の比1:2:√3から、AD=4√3cm
△AEDの高さは、Eから垂線をおろし、ABとの交点をFとしたときのAF=2cm
4√3×2÷2-4×4×π×30/360
=4√3-4/3πcm2

大問2(小問集合2)

(1)①文字式
『AはBより4歳年上
Aの年齢をx歳とすると、Bの年齢はx-4歳。


Cの年齢は、(x+x-4)×2=4x-8
18年後で等式を作成。
【現在のA+現在のB+36=現在のC+18】
x+(x-4)+36=(4x-8)+18
2x=22
x=11(現在のAの年齢)
AとCの年齢差は、
(4x-8)-x=3x-8=33-8=25歳

(2)①確率
3枚から1枚を取り出しては戻す。
これを3回行うので、3×3×3=27通り


2つ以上連続しない方が少ないので、こちらを考えてあとで全体からひく。
連続しない→AとBが互い違い
〔AB〕のカードの位置を先に考えるのがコツ。
◆〔AB〕が0枚
ABA・BABの2通り。
◆〔AB〕が1枚
〔AB〕AB・B〔AB〕A・AB〔AB〕の3通り。
◆〔AB〕が2枚
B〔AB〕〔AB〕・〔AB〕〔AB〕Aの2通り。
◆〔AB〕が3枚
〔AB〕〔AB〕〔AB〕の1通り。
合計8通り。
同じアルファベットが連続する場合の数は、27-8=19通り
よって、19/27


(3)①関数
y=-3/4x2にx=2を代入
→A(2、-3)
Aを通る、傾きが-1である直線の式を求める。
-3=-1×2+b
b=-1
y=-x-1


y=-x-1は傾きが負なので、xの値が小さければyの値は大きい
つまり、y=2のとき、x=aとなる。
2=-a-1
a=-3

y=-3/4x2において、-3≦x≦2のときのy変域を求める。
x=-3のとき、最小値y=-27/4
x=0のとき、最大値y=0
-27/4≦y≦0

(4)①空間図形
5×5×π×6÷3=50πcm3


Qの物理量がわかってないので、比で対処する。

錘であるPは÷3をすること。
P:Q=9×3÷3:16×8=
9:128

大問3(文章題)

(1)①
4分30秒=4.5分
相対度数は小数で求める。
4÷20=0.2


説明問題。
5.5分未満の相対度数を比較する。
A組…7÷20=0.35
B組…8÷25=0.32
『A組の方が5分30秒未満の割合が大きい』ことから、
A組に速い人が多いと判断した。

(2)①
中学入試っぽい。

うえのように辺を移動させて長方形にする。
長方形の周の長さは、(900+1400)×2=4600m
コースの全長4800mで、差の200mは〇2つ分となる
〇=200÷2=100m

?=900-300=600m


前問の正答が条件。
学校からチェックポイントまでは、1400+600=2000m
【1500mで6分】なので、チェックポイントまでは、
6分×2000m/1500m=8分

横軸が時間ではなく、距離になっている点に気をつけること!
原点から(2km、8分)まで線をひく。


チェックポイント通過後、残りの距離は4800m-2000m=2.8km
到着予定時間まで、24-8=16分

はじめは1km6分の速度、つぎに1km3.5分の速度で走る。
速さは〔分速/km〕で換算するのがポイント。
分速1/6km→分速1/3.5km
求めたいものは分速1/3.5kmで走った距離なので、これをxkmとする。
分速1/6kmで走った距離は2.8-xkm。
時間で等式を作成。
xkm÷分速1/3.5km+(2.8-x)km÷分速1/6km=16分
3.5x+6(2.8-x)=16
2.5x=0.8
x=8/25
8/25kmをmに変換。
8/25×1000=
320m
*本問のやりにくいポイントは、速さが『1000mあたりの時間(分)』で与えられていること。
一定の距離が1kmなので、速さは分/kmを選択した方がいいかも。


大問4(平面図形)

(1)
半円の弧に対する円周角∠ADB=90°
△ADBで三平方。BD=√7cm

(2)①
台形の証明→1組の対辺が平行である。

円外では角度が使いにくいので、辺の長さに注目する
AD:DC=3:1.5=2:1
AB:BE=4:2=2:1
AD:DC=AB:BEより、三角形と線分の比の逆からDB//CE
したがって、1組の対辺が平行であることから四角形BECDは台形となる。
*三角形と線分の比は、2本の平行線より2つの三角形(本問では△ADBと△ACE)が∽であることから、
AD:DC=AB:BEを導く手法で使われやすいが、その逆も真となる。
すなわち、2組の辺の比が同じであれば、2本の線分は平行といえる

@別解@
△ADBと△ACEが2辺の比とあいだの角が等しい→∽
ここから、∠DBA=∠CEAの同位角が等しい点を指摘して平行を証明してもいい。



△ADBの面積…3×√7÷2=3√7/2cm2
AB:AE=4:6=2:3より、
△ADBの面積を②とすると、△ADEの面積は③となる。
3√7/2×3/2=9√7/4cm2

@別解@
DB//CEより、等積変形で△DCB=△DEB
これらに△ADBを足すと、△ACB=△ADEがいえる。
△ADEの面積は、4.5×√7÷2=9√7/4cm2


ムズイ:;(∩´_`∩);:
どこかで複雑な計算処理をしなければならないが、どこでそれをするか。

DB:CE=2:3より、CE=3√7/2cm
Fは円周上の点ではないので、邪魔な円を消して見ました。
AF
を延長して交点をGとおく。
チェバの定理からCG:GEを求める。
CD/DA×AB/BE×EG/GC=1
1/2×2/1×EG/GC=1
CG:GE=1:1(GはCEの中点にあたる)

CG=3√7/2÷2=3√7/4
同位角より、∠ACG=90°
面倒くさいが・・△ACGで三平方をする。
AG=√(4.52+3√7/42
=√(
81/4+63/16)
=√387/16=3√43/4cm


AGとDBの交点をHとする。
△BDF∽△CEFより、BF:FC=BD:CE=2:3
さらに、△BFH∽△CFGより、HF:FG=②:③
△ADH∽△ACGより、AH:HG=2:1で、
HG=⑤ということは、AH=⑤×2=⑩
よって、AF=3√43/4×⑫/⑮=3√43/5cm


大問1
(7)けっこう間違いやすい。適当な値を放り込んで検証。
(8)初手は半径AE。円や扇形が出たら、まず半径を疑う。
大問2
(2)②アルファベットが連続するパターンが19通りもある。
問題文を読んだとき、どちらが少ないかを見極める。
時間がかかりそうならば後回し推奨。
大問3
(2)①中学入試っぽい問題は正答率がガクッと下がる傾向がある。
ここを落とすとドミノ式で間違うので合否を分かつ。
②イ;単位換算が地味にやらしい。
大問4
(2)③いまいち良い解法が思い当たらなかった。
ここに時間を消費するより、見直しにまわした方がベター。
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コメント

  1. お助けマン より:

     こんにちは。いつもお世話になっております。今日は、2020年度の宮城県公立高校入試の数学の問題の大問4の(3)の別解を考えてみました。サボ先生の解説の最後の図を用いて、解法を述べたいと思います。
    [別解]
     点Dから降ろした垂線とAEとの交点をHとする。また、点Fから降ろした垂線とAEとの交点をIとする。DH=hとすると、BD=√7より、4✕h/2=3✕√7/2より、h=3√7/4 よって、DH=3√7/4である。
    △EFI∽△EDHより、EF:FD=3:2から、
    3:5=FI:DH →3:5=FI:3√7/4より、
    FI=9√7/20である。
    △DAHにおいて、AHの長さを求めると、
    △BAD∽△DAHより、4:3=3:AH→
    AH=9/4である。
    また、HE=AE−AH=6−9/4=15/4となる。
    ここで、HIの長さは、HEの2/5より、
    HI=15/4✕2/5=3/2である。
    AI=AH+HI=9/4+3/2=9/4+6/4=15/4である。△FAIにおいて、三平方の定理より、AFを求めると、
    AF=√AI²+FI²=√(15/4)²+(9√7/20)²=√3²・5²・5²/16・5²+3²・3²・7/400=√9(625+63)/20=3√688/20=3✕4√43/20=3√43/5よって、答えは、3√43/5cmである。
     以上ですが、チェバの定理を使う事も考えましたが、△FAIは直角三角形なので、三平方の定理が使えるのではと考えて、解く事が出来ました。ご確認いただけますと嬉しく思います。これからも宜しくお願いします。お助けマンより。

    • 家庭教師サボ より:

      コメントありがとうございます。
      おっしゃる通り、垂線をひいて三平方のみでいけますが、ゴリゴリの計算を余儀なくされるので良い問題とはいえませんね…。
      最近の宮城は比較的落ち着いているので反省したのかもしれません。

  2. お助けマン より:

     早速のご返事、ありがとうございます。先生のおっしゃる通り、三平方の定理を用いての計算はとても大変で、試験時間内で解ける保証はないため、他の問題に照準を当てて、解く方が良いかと思います。
     それと、進学塾等で扱う所もある、チェバの定理やメラニウスの定理、方べきの定理など、高校で履修する解き方が必要な問題は、適切性を欠く部類に入りやすいかと思います。
     以前、サボ先生の入試問題の解説に投稿の、メラニウスの定理を用いて解いた受検生は、別解として解いた事は、とても素晴らしいと思います。今回の問題では、三平方の定理以外の解き方も時間がかかり大変ですし、正答率もかったと思います。
     数学の問題では、論理の展開が正しければ、その解き方は自由ですが、三平方の定理を用いて解く方法は、計算が大変かと思います。あくまでも解き方の一例として、投稿させていただきました。これからも宜しくお願いします。お助けマンより。

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