2020年度 宮城県公立高校入試問題【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
7-12
=-5

(2)
-9/10÷5/4
=-18/25

(3)
3(4x+y)+2(-6x+1)
=12x+3y-12x+2
=3y+2

(4)
6a2b×2b÷3ab
=4ab

(5)
√32-√18+√2
=4√2-3√2+√2
=2√2

(6)
2-5x-24
=(x+3)(x-8)=0
x=-3、8

(7)
試しにa=-3を代入してみる。負の数の代入はカッコでくくること!
ア:2a=-6 イ:-(-3)2=-9 ウ:{-(-3)}2=32=9
エ:-√(-3)2=-√9=-3 オ:√(-3)2=√3
ウ・オ

(8)
△ABDの内角は30°-60°-90°

求積すべき範囲の頂点の1つがE。
また、Eは円周上の点でもあるので、Eと中心Aを結んでみる
∠EBA=60°、半径からAE=AB
△ABEの内角がすべて60°となり、△ABEは正三角形

∠CAE=90-60=30°
△AEDから扇形AEC(半径4cm中心角30°
)をひけば斜線部分の面積がでる
△ABDの辺の比1:2:√3から、AD=4√3cm
△AEDの高さは、Eから垂線をおろし、ABとの交点をFとしたときのAF=2cm
4√3×2÷2-4×4×π×30/360
=4√3-4/3πcm2

大問2(小問集合2)

(1)①文字式
『AはBより4歳年上』(←年下と勘違いしないように!
Aの年齢をx歳とすると、Bの年齢はx-4歳。


Cの年齢は、(x+x-4)×2=4x-8
18年後で等式を作成。
【現在のA+現在のB+36=現在のC+18】
x+(x-4)+36=(4x-8)+18
2x=22
x=11(現在のAの年齢)
AとCの年齢差は、
(4x-8)-x=3x-8=33-8=25歳

(2)①確率
3枚から1枚を取り出しては戻す。
これを3回行うので、3×3×3=27通り


2つ以上連続しない方が少ないので、こちらを考えてあとで全体からひく。
連続しない→AとBが互い違い
〔AB〕のカードの位置を先に考えるのがコツ。
◆〔AB〕が0枚
ABA・BABの2通り。
◆〔AB〕が1枚
〔AB〕AB・B〔AB〕A・AB〔AB〕の3通り。
◆〔AB〕が2枚
B〔AB〕〔AB〕・〔AB〕〔AB〕Aの2通り。
◆〔AB〕が3枚
〔AB〕〔AB〕〔AB〕の1通り。
合計8通り。
同じアルファベットが連続する場合の数は、27-8=19通り
よって、19/27


(3)①関数
y=-3/4x2にx=2を代入
→A(2、-3)
Aを通る、傾きが-1である直線の式を求める。
-3=-1×2+b
b=-1
y=-x-1


y=-x-1は傾きが負なので、xの値が小さければyの値は大きい
つまり、y=2のとき、x=aとなる。
2=-a-1
a=-3

y=-3/4x2において、-3≦x≦2のときのy変域を求める。
x=-3のとき、最小値y=-27/4
x=0のとき、最大値y=0
-27/4≦y≦0

(4)①空間図形
5×5×π×6÷3=50πcm3


Qの物理量がわかってないので、比で対処する。

錘であるPは÷3をすること。
P:Q=9×3÷3:16×8=
9:128

大問3(文章題)

(1)①
4分30秒=4.5分
相対度数は小数で求める。
4÷20=0.2


説明問題。
5.5分未満の相対度数を比較する。
A組…7÷20=0.35
B組…8÷25=0.32
『A組の方が5分30秒未満の割合が大きい』ことから、
A組に速い人が多いと判断した。

(2)①
中学入試っぽい(;´Д`)

うえのように辺を移動させて長方形にする。
長方形の周の長さは、(900+1400)×2=4600m
コースの全長4800mで、差の200mは〇2つ分となる
〇=200÷2=100m

?=900-300=600m


前問の正答が条件。
学校からチェックポイントまでは、1400+600=2000m
【1500mで6分】なので、チェックポイントまでは、
6分×2000m/1500m=8分

横軸が時間ではなく、距離になっている点に気をつけること!
原点から(2km、8分)まで線をひく。


チェックポイント通過後、残りの距離は4800m-2000m=2.8km
到着予定時間まで、24-8=16分

はじめは1km6分の速度、つぎに1km3.5分の速度で走る。
速さは〔分速/km〕で換算するのがポイント。
分速1/6km→分速1/3.5km
求めたいものは分速1/3.5kmで走った距離なので、これをxkmとする。
分速1/6kmで走った距離は2.8-xkm。
時間で等式を作成。
xkm÷分速1/3.5km+(2.8-x)km÷分速1/6km=16分
3.5x+6(2.8-x)=16
2.5x=0.8
x=8/25
8/25kmをmに変換。
8/25×1000=
320m
*本問のやりにくいポイントは、速さが『1000mあたりの時間(分)』で与えられていること。
一定の距離が1kmなので、速さは分/kmを選択した方がいいかも。


大問4(平面図形)

(1)
直径ABに対する円周角∠ADB=90°
△ADBで三平方。BD=√7cm

(2)①
台形の証明→1組の対辺が平行である。

円外では角度が使いにくいので、辺の長さに注目する
AD:DC=3:1.5=2:1
AB:BE=4:2=2:1
AD:DC=AB:BEより、三角形と線分の比の逆からDB//CE
したがって、1組の対辺が平行であることから四角形BECDは台形となる。
*三角形と線分の比は、2本の平行線より2つの三角形(本問では△ADBと△ACE)が∽であることから、AD:DC=AB:BEを導く手法で使われやすいが、その逆も真となる。
すなわち、2組の辺の比が同じであれば、2本の線分は平行といえる

@別解@
△ADBと△ACEが2辺の比とあいだの角が等しい→∽
ここから、∠DBA=∠CEAと同位角が等しい点を指摘して平行を証明してもいい。



△ADBの面積…3×√7÷2=3√7/2cm2
AB:AE=4:6=2:3より、
△ADBの面積を②とすると、△ADEの面積は③となる。
3√7/2×3/2=9√7/4cm2


ムズイ:;(∩´_`∩);:
どこかで複雑な計算処理をしなければならないが、どこでそれをするか。

DB:CE=2:3より、CE=3√7/2cm
Fは円周上の点ではないので、邪魔な円を消して見ました。
AF
を延長して交点をGとおく。
チェバの定理からCG:GEを求める。
CD/DA×AB/BE×EG/GC=1
1/2×2/1×EG/GC=1
CG:GE=1:1(GはCEの中点にあたる)

CG=3√7/2÷2=3√7/4
同位角より、∠ACG=90°
面倒くさいが(;`ω´)△ACGで三平方をする。
AG=√(4.52+3√7/42
=√(
81/4+63/16)
=√387/16=3√43/4cm


AGとDBの交点をHとする。
△BDF∽△CEFより、BF:FC=BD:CE=2:3
さらに、△BFH∽△CFGより、HF:FG=②:③
△ADH∽△ACGより、AH:HG=2:1で、
HG=⑤ということは、AH=⑤×2=⑩
よって、AF=3√43/4×⑫/⑮=3√43/5cm
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