2023年度 神奈川県公立高校入試・追検査過去問【数学】解説

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大問1(計算)

(ア)
-11+(-5)
=-11-5
=-16 【1】

(イ)
1/5-9/10
=-7/10 【2】

(ウ)
(5x-y)/6-(3x-4y)/8
={4(5x-y)-3(3x-4y)}/24
=(20x-4y-9x+12y)/24
=(11x+8y)/24 【4】

(エ)
25/√10-√40+√5/√2
=5√10/2-2√10+√10/2
=√10 【2】

(オ)
(x+9)(x-6)-(x-4)2
=x2+3x-54-x2+8x-16
=11x-70 【3】

大問2(小問集合)

(ア)
5x+8y=-2 …①
1/3x+3/4y=-1 ←12倍
4x+9y=-12 …②

数字の並びが(;´・ω・)
②×5-①×4をすると、
13y=-52
y=-4
①に代入、5x-8×(-4)=-2
5x=30
x=6
x=6、y=-4 
【4】

(イ)
2x2-8x+1=0
解の公式を適用して、x=(4±√14)/2 
【4】

(ウ)
y=ax2において、xの値がp→qに増加したときに変化の割合はa(p+q)
一次関数の変化の割合は傾きで表される。
a(1+3)=-6
4a=-6
a=-3/2 【1】

(エ)
加えた食塩水をxgとする。
食塩の量で等式を立てる
350×0.05
+0.15x=(350+x)×0.08 ←100倍
1750+15x=2800+8x
7x=1050
x=150→150g 
【2】

@別解@
中学受験では天秤法というテクニックがあります。

混ぜた後の濃度8%を支点にする。
支点からの距離は3:7。
天秤が釣り合うには、重さを逆比にして⑦:③
350×③/⑦=150g

(オ)

整数になる→根号が外れる→根号の中身は平方数。
61までの平方数は、【1、4、9、16、25、36、49】の7個。
4の倍数+1から4の倍数を引いた数は、4の倍数+1である
条件に合う平方数は、【1、9、25、49】の4個。 
【3】
(具体的にいうと、n=3
、9、13、15)


大問3(小問集合2)

(ア)ⅰ
△AEF≡△BDEの証明。

仮定より、∠EAF=∠DBE(
AB=ACでDとEは各々の中点だから、DB=AE
△ADEは二等辺三角形で底角が等しいので、∠ADE=∠AED(×
△ADEに外角定理を適用、∠AEF=∠ADE(×)+∠DAE(
∠BDE=∠AED(×)+∠DAE(
∠AEF=∠BDE
(もしくは、180-×で等角と指摘してもよい)
以上より、1辺と両端角が等しいので合同。
a…【3】、b…【1】



GE:EHを求めたい。
GとHが垂線上にあるので、直角をどこかで使わなくてはならない
△ABCは二等辺三角形。二等辺で直角といえば底辺の垂直二等分線
底辺BCの垂直二等分線をひき、DF、BF、BCとの交点をそれぞれI、J、Kとする。

△GHF∽△AJFに着目してIFを境に上下を観察すると、GE:EH=AI:IJである。
(△GEF:△AIF=△HEF:△JIF)
AI:IJを求めれば良い。

何ら長さの情報が与えられていない。そこで等辺から見当をつける。
DI=IE=とする。
△ADE∽△ABC、KはBCの中点だから、BK=KC=●●
前問の合同より、DE=EF=●●
△BKJ∽△FIJの相似比で、IJ:JK=

△ADE∽△ABC→AI=IK=
AI:IJ=GE:EF=5:3 【3】

(イ)
クセがある。

AD//FOより、同位角で∠OFC=∠DAF
∠DAFを求めれば良い
直径ABと接線BGは直交するから、∠ABG=90°
△ABGの内角から、∠GAB=180-(90+56)=34°
CBに補助線をひく
弧BDに対する円周角より、∠BCD=34°

直径ABに対する円周角から∠ACB=90°
∠ACE=90-34=56°
△ACEで外角定理→∠CAE=82-56=26°
∠DAF(∠OFC)=26+34=
60°

(ウ)

Ⅰ:12ヶ月の第1四分位数は下から3番目と4番目の平均。
 地点Aの第1四分位数が20℃超え→少なくとも9ヶ月は20℃以上。〇
Ⅱ:地点BとCの30~35℃を見ると、Cは中央値から最大値までスッポリ含まれる
 Cの半分(6ヶ月)は少なくとも30~35℃の範囲に入る。BよりCの方
が多い。〇
Ⅲ:四分位範囲=第3四分位数-第1四分位数。箱の横の長さでEよりDの方が大きい。×
Ⅳ:最大値が30℃以上なので正しい。〇
Ⅴ:地点Eは中央値が25℃を下回る。25℃以上は最大でも6か月。×
確実に読み取れるのはⅠ、Ⅱ、Ⅳ。 【5】

(エ)

直径に対する円周角→∠ACB=90°
5:12:13の直角三角形は覚えておこう。AC=5cm
AE:EC=2:3より、AE=2cm
直径AB=13cmから半径DO=13/2cm

OFを延長、CBとの交点をHとする。
AC//OHから、AO:OB=CH:HB=1:1
HはCBの中点でCH=6cm
また、△ABE∽△OBFの相似比は2:1→OF=1cm

四角形ADFEは台形
△ADE:△ADF=AE:DF=2:15/2=

王道の解き方ではないかもしれぬが(;`ω´)、ここで面積の変化率を使います。
EからFに点が動くとする。
スタートのEでは(△ADE)、ゴールのFでは(△ADF)。
底辺をADとすると高さの比は一定の割合で上昇するので、面積の変化率も一定
GはEFの中点だから△ADGの面積は△ADEと△ADFの平均→()÷2=〇19/2
△ADEの面積は2×6÷2=6cm2なので、△ADG=6×(〇19/2)/=57/4cm2

大問4(関数)

(ア)
y=ax2上にあるA座標に着目する。
y=-x+2にx=-6を代入する。A(-6、8)
これをy=ax2に代入。
8=36a
a=2/9 【2】

(イ)

y=8/xにx=2を代入→E(2、4)
Fは原点OについてEと対称→F(-2、-4)
CO:OD=3:4より、Dのx座標は8。
Fから右に10、上に4でDだから、傾きmは4/10=2/5
切片nはFから右に⑤(=2)、上に②進んで、n=-4+2×②/⑤=-16/5
ⅰ…【2】、ⅱ…【1】

(ウ)
イカニモ神奈川(´Д`川)

各頂点の座標を記しておく。
Gはy=-x+2とy=2xの交点。
-x+2=2x
x=2/3→G(2/3、4/3)
EG:GF=4/3:8/3=1:2

試しにAGとFDの交点を求めてみると、x=26/7と容赦ない数字が現れる(;°;ω;°;)
四角形ABFGと△DEGは離れており、形も美しくない…。
なるべく点座標や直線の式が整数であるところを利用したい。
Dを通るEFに平行な線をひき、AGとの交点をHとする
DHの傾きは2。(8、0)を通るのでy=2x-16
Hのx座標は、-x+2=2x-16
x=6→H(6、-4)
FHはx軸と平行である。
等積変形で、△DGF=△HGF、△DEG=△HEG

AFに補助線
△AGF:△HGF=AG:GH=20/3:16/3=
EG:GF=1:2から、△HEG=
残りは△ABF…。

ここまでくれば地道に面積を求めてもよいのですが、面積比を続けます。
ABとHFを延長、交点をIとする。
IF:FH=4:8=
AB:BI=28/3:8/3=
△AFH=なので、△ABF=×/×/〇3.5
四角形ABFG:△DEG(△HEG)=〇8.5=17:4

良い解法を編み出した方は下のコメント欄かお問い合わせよりお知らせ願いますm(_)m
ちなみに、BFとEDは平行ですが、いまいち活用法を見出せませんでした。


@別解@
ぶんちんさんから素敵な別解を頂きました(*´д`艸)
Fを通るy軸に平行な線を引き、AGとの交点をHとします
y=-x+2にx=-2を代入→H(-2、4)
四角形ABFGは台形ABFHと△HFGに分割されます。
△DEGは△ODEから△ODGを引けば良いので、
OG:OE=2/3:2=①:③→△DEG=△ODE×②/③から求められます。

必要な数値は上図の通り。
四角形ABFG=(28/3+8)×4÷2+8×8/3÷2=104/3+32/3=136/3
△DEG=8×4÷2×②/③=32/3
四角形ABFG:△DEG=136/3:32/3=17:4
こちらの解法の方が現実的かと思います。


大問5(確率)

(ア)
●条件整理●
操作1:P→Q(=PからQに移す)
操作2:P≧QのときはP→Q、P<QのときはQ→P

操作1でPを6個以下にしないと、操作2でPを0個にできない。
また、操作2でP→QとなるギリギリのラインはP=Q
玉は合計12個だから(P、Q)=(6、6)である。
ということは、操作1終了後のPは6個しかない
操作1で(P、Q)=(6、6)、操作2で(0、12)
全体は6×6=36通り、場合の数は1通りだから確率は1/36。

(イ)
操作2において、P→QかQ→Pで場合分けする。
最終的にP>Qなので、Pは7個以上、Qは5個以下になる
◆P→Q
初期状態は(P、Q)=(9、3)
操作1で1個移して(8、4)、操作2で1個移して(7、5)
この1通りしかない。

◆Q→P
操作1終了後はP<Q、(P、Q)=(5、7)(4、8)(3、6)の3通り。
操作2終了後のPは7個以上だから、(5、7)はPの個数が+2~6の5通り。
(4、8)はPが+3~6の4通り、(3、6)はPが+4~6の3通り。
合計すると13通りで、確率は13/36。

大問6(空間図形)

(ア)
底面は1辺6cmの正方形。
4つの側面を伸ばすと、縦5cm、横6×4=24cmの長方形。
表面積は、6×6×2+24×5=192cm2 
【4】

(イ)

展開図をつくる。
求めたいICを斜辺とする直角三角形で三平方の定理を使いたい。
そこで、IからHCに垂線をひいて交点をKとし、△KICをつくる

△HIK∽△HFGより、HK:KG=1:2→KG=6×2/3=4cm
KI:GF=1:3→KI=6×1/3=2cm
(△HIKは直角二等辺三角形である)
△KICで三平方→IC=√85cm 【3】

(ウ)

 線分FJを含む面HDBFで切り取る
△EFHは直角二等辺三角形→HF=6√2cm
HI:IF=より、HI=2√2cm、IF=4√2cm
正方形の対角線ACとBDの交点Oはおのおのの中点なので、DO=OB=3√2cm

IからDBに垂線をひき、足をPとする
PO=3√2-2√2=√2cm
HF//DBより錯角で∠IOP=∠FIJ()、2角相等で△IPO∽△FJI
△IPOで三平方→IO=3√3cm
IP:IO=FJ:FIなので、
FJ=4√2×5/3√3=20√6/9cm


取るべきところは取る、捨てるところは捨てる、
といった戦略的な取捨選択が合否を分けるいつもの神奈川。
大問1
満点かつ迅速に終わらす。
大問2
ここまでは取りたい。1と2で配点35点。
(ア)他とのバランスから、もう少しやりやすい係数にしてあげて(;´・ω・)
(エ)天秤法に甘えてしまった。
(オ)過去問の踏襲。
大問3
(ア)ⅰ:手順が多いので、いちいち全部読んでいる暇はない。
空欄の前後読みで対処する。
ⅱ:Aからの垂線をひけないと迷子。
DF⊥GHから垂直をどこかでつくり、GE:EHを別の辺の比に移す。
辺の長さがわからないので、等辺と合同を利用して相似比を計算する。
(イ)変な場所にある∠OFCを早々と∠DAFに移動させる。
Eは円周上の点ではない→82°は対頂角か外角定理で使うしかない。
直径に対する円周角をどこかに作る。
(ウ)内容は難しくないが、5つの要素を手際よく判断したい。
(エ)発想系というよりテクニカルな設問であった。
テクニックは塾で習ってください。
大問4
(ウ)神奈川色が強め。分割して求めていくのが手堅いかと。。
せめてB座標は整数値であれ(#`Д´)ノノ┻┻
処理能力も問われ、間違ったルートを選んでやり直しだと心が折れる。
解説では△HGFを媒介に3つの三角形の面積比を求めた。
BF//EDを活用した解法がございましたら教えてください。
大問5
確率は良問であった。
いくつかの問題をスキップして、ここで調べる時間に費やすのが得策か。
条件の把握も的確かつなるべく迅速に。
(ア)思考力が試される。
移動できる玉の個数は1~6個。Pの個数は9→6→0しかない。
(イ)操作2で分岐があるので、操作2の内容で分けてみる。
大問6
(イ)他県でも見かけるパターンだが正答率は低い。ナナメ線は三平方。
(ウ)FJは三角錘F―IACの高さだが、体積が求めづらい。
JFが面HDBF上にあることから、△FJIと相似にある三角形を面上に作れないか。
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