2020年度 福岡県公立高校入試問題【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
8+2×(-7)
=8-14=-6

(2)
2(a+4b)-(5a+b)
=2a+8b-5a-b
=-3a+7b

(3)
√75-9/√3
=5√3-3√3
=2√3

(4)
3(2x-5)=8x-1
2x=-14
x=-7

(5)
2a+3b=1
2a=-3b+1
a=(-3b+1)/2

(6)
xとyの積が-12(y=-12/x)
y=-12÷3=-4

(7)
yの値が整数となるのは、xの値が3の倍数のとき。
原点と(3、3)を通るような放物線を描く。

(8)
電卓使いましたΨ(`∀´)Ψ
A中学校…25÷85=0.294…≒0.29
B中学校…32÷136=0.235…≒0.24
大きい方は0.29。

(9)
無作為に抽出した30個のうち、印付きは2個。
印なし:印あり=28:2=⑭:①(全部で⑮)
の割合で、
この割合は母集団も変わらないとみなす。
印付きは全部で30個だから、30×⑮/①=450個

大問2(文字式)

(1)
縦の長さをxmとすると、横の長さは2xm。
2(x+2x)=2×(縦の長さ+横の長さ)
土地の周の長さとなる→ア

(2)

すべての花壇を隅に寄せるのが定石。
ア:花壇の面積で等式。
(x-2)(2x-2)=264
*寄せた花壇の縦と横をかけて、花壇の面積を算出。
こちらの方が式がシンプル。

イ:道の面積で等式。
x×2x-264=x×2+2×2x-4
*土地の面積-花壇の面積=道の面積
右辺の-4は、重複した部分の2×2cm2

いずれかの式を解いて、x=13
土地の縦の長さ…13m


大問3(確率)

(1)
AからDに止まるには、3か7進む。
3は(1、2)だけなので、7を考える。
(2、5)(3、4

(2)
記述式。
樹形図か表をつくり、調べた証拠を残すところまで要求されるという(;`ω´)
3が2枚あるので、公式解答のように〇の有り無しや、3A・のように区別して調べる。
5枚から2枚取り出す場合の数→52=10通り

Aに止まるには、4か8進む。
(1、3)(1、③)(3、5)(3、⑤)の4通り。
確率は4/10=2/5

Cに止まるには、2か6進む。
(1、5)(3、③)の2通り。
確率は2/10=1/5

計算結果を比較する。
確率は2/5>1/5なので、コマが止まりやすいのはA。

大問4(数量変化)

(1)
図1より、Aプランでは60分で電話料金が3600円だから、3000円は60分より前
通話時間に応じた通話料は、3000-1200=1800円
60分までは1分40円なので、1800÷40=45分

(2)
ア:基本使用料はx=0のときのyの値→2300円
イ:20
分までは基本使用料のみ→20
ウ:変化の割合は、yの増加量/xの増加量
 (3300-2300)/(60-20)=25円

(3)
記述式。

60≦x≦90におけるAプランは(60、3600)を通る。
通話料は1分あたり30円なので傾きは30→y=30x+1800
Cプランは(60、3900)と(90、4350)を通る。
2点を通過する直線の式を求める。
(2)ウのように変化の割合を調べると、(4350-3600)/(90-60)=15
Cプランは60分を超えると、通話料は1分15円かかることになる。
座標を代入して切片を求めると、y=15x+3000

2直線の交点座標を求める。
30x+1800=15x+3000
x=80 →80分

@別解@

本問は条件付きの説明問題なので使えませんが、
条件がなかったら、中学受験風に∽で解いてしまった方が速いです。

大問5(平面図形)

(1)
図に線を描いてみよう。

BPを対称の軸とした線対称→ウ

(2)
角の二等分線の作図の原理。
ここもワークに載っているレベルなのでこぼしたくない。
【1】からBM=BN
【2】からMP=NP
これと共通辺をあわせ、3辺が等しいので△MBP≡△NBPとなる。

(3)
△ABD∽△FAEの証明。

:角の二等分線+弧CEに対する円周角
×:AB//EGの錯角
2角が等しい→∽

(4)
ここでひっかかる人が多いと思われる。

直径に対する円周角は直角なので、∠BAE=90°
先ほどの△ABD∽△FAEを手がかりに対応する角を調べていくと、
∠BAD=60°となり、内角が30°-60°-90°の直角三角形が複数見つかる。
また、△ABEの内角も同様で、∠AED=60°

対頂角から∠CFG=60°
弧ABに対する円周角で、∠FCG=60°
ここから△ABCと△FGCは正三角形となる。

△AEFの各辺を①:②:〇√3とする。
△AEBも1:2:√3なので、ABを〇で示すと、〇√3×√3/1=③
正三角形ABCの1辺は③となる。

FCの長さは③-②=①
△ABCの面積15cm2は、③×③=【9】(【9】=15cm2
△FGCの面積は【1】、△BDCはBDが△ABCを二等分するので【4.5】
ということは、四角形BGFDの面積は、【4.5】-【1】=【3.5】
よって、四角形BGFDの面積は、15×3.5/9=35/6cm2

大問6(空間図形)

(1)
ア:平行×
イ:∠DAB=90°→垂直〇
ウ:対面で平行〇
エ:ネジレの位置→平行でもない、かつ延長しても交わらない。平行で×
 CDとネジレにあるのは、AE、BF、EH、FG。
イ・ウ

(2)

AM・BF・CNを延長し、交点をOとする。
三角錐O-MFNとO-ABCの辺の比は1:2なので、OF=3cm
体積比は辺の比の3乗。
6×4÷2×6÷3×7/8=21cm3

(3)
昨年度の方がもっと複雑だったような(‘Д’)

IJを対角線とする直方体を作図。
辺の長さは、背面の1:2をうまく利用しよう!
横の辺は6cmを、高さは3cmを1:2に按分する。

1辺がa、b、cの直方体の対角線の長さ→√(a2+b2+c2
IJ=√(22+32+22)=√17cm
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