2019年度 神奈川県公立高校入試問題【数学】解説

平均50.3点

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2019年度・神奈川数学(鬼畜追検査)はコチラ
ゲロムズなのだが└(‘ω’)┘

大問1(計算)

(ア) 98.1%
(-7)+(-13)
=-7-13=-20 【1】

(イ) 98.3%
-3/5+3/7=-6/35 【2】

(ウ) 98.8%
32ab2÷(-4b)=-8ab 【3】

(エ) 98.2%
√63+42/√7=3√7+6√7=9√7 【2】

(オ) 95.2%
(x+4)2-(x-5)(x-4)
=x2+8x+16-(x2-9x+20)
=17x-4 【4】

大問2(計算2)

(ア) 94.3%
(x-4)2+8(x-4)-33 ←(x-4)をラージエックスに置き換え
=X2+8X-33
=(X+11)(X-3)
={(x-4)+11}{(x-4)-3} ←ラージエックスを戻す
=(x+7)(x-7) 【1】

(イ) 88.6%
3x2-8x+2=0
解の公式(b=2b’ver)
a={4±√(42-3・2)}/3
=(4±√10)/3 【2】

(ウ) 78.8%
傾きが負なので、上に凸のグラフ。
最大値はx=0、y=0(b)・・・原点
最小値はx=-3、y=a
a=-2/3×(-3)=-6
a=-6、b=0 【1

(エ) 79.9%
代金の合計が2a+b。
3割引き→定価の7割 【4】

(オ) 89.0%
根号の大小関係は、2乗して根号を外す。
(5√3)2=75、
2=64、(√79)2=79。
よって、8<5√3<√79 【3】

(カ) 95.0%
標本調査。
全体:不良品=500:6だから、
30000×6/500=360個  【3】

ここまでで37点。
後ろに難問が揃っているので、確実にとりたい。

大問3(小問集合)

(ア) 40.3%
円がでてきたら、真っ先に半径の作図と円周角の定理を疑う。

△OBCが半径で二等辺。∠BOC=88°
円周角で∠BAC=44°
△ABCも二等辺だから、∠ABC=68°で、∠ABD=22°
外角定理で、∠BDC=22+44=66°

(イ) 2.1%!!
どよよ~ん(ll゚д゚ll)もはや小問ではない。
昨年もここらで地味ムズ問題がでている…。
まず、DC上の辺の比から調べる。

メネラウスの定理で、AB/BD×DG/GC×CE/EA=1
2/1×DG/GC×2/1=1 →DG:GC=1:4

同じくメネラウス。AB/BD×DH/HC×CF/FA=1
2/1×DH/HC×1/2=1 →DH:HC=1:1
HはDCの中点になる。図2ではCよりに見えるが・・・。
2つの比を組み合わせると、
DG:GH:HC=2:3:5

△BGDは△ABCの何分の何か。

こちらはラクラク(*’ω’*)
1×1/2×2/10=1/10

大問題はT。
なんでやりにくいところを指定すんのよ~(ll゚д゚ll)

△CEG内で面積比の計算
△CFHは、⑤×1=□5
△CEGは、⑧×2=□16
残りの四角形EGHFは□11。
よって、四角形EGHFは△ABCの・・・
1×1/2×8/10×2/3×11/16=11/60

したがって、△BGD(S):四角形EGHF(T)
=1/10:11/60=6:11
他にスマートなやり方あるかな。。(; ̄Д ̄)

(ウ) 6.8%!
6x-8=5x+5に決まってるぢゃん…さっきと全然違う( ´艸`)ウフフ
と思いきや、子どもではなく、みかんの数がxに指定されている(#゚Д゚)ゴルァ
i;(x+8)/6=(x-5)/5
 プラスマイナスに気を付けよう。
 不足分は足し、余りは引き、帳尻を合わせたあとに割る。
ii;上の式を解いて70個

大問4(関数)

(ア) 84.2%
C(-3、-2)がわかっているので、
これをy=ax2に当てはめ。
-2=3a2
9a=-2
a=-2/9 【5】

(イ)i 29.7%!
AD:DC=2:1から、ADとDCの長さを求める。
AD=10/3、DC=5/3

AD=EFなので、EF=10/3
ここで四角形ADEFに注目
ADとFE(対辺)が平行で、長さが等しい。
よって、四角形ADEFは平行四辺形。
AF//
DB(DE)
DBの傾きは、D(-3、-1/3)とB(3、3)から求める。
yの増加量/xの増加量={3-(-1/3)}/{3-(-3)}/=5/9。
AFの傾きも5/9。
AとBはy軸を対称の軸とした対称関係にあるので、
AFとBFも同様に対称関係にある。
AFの傾きが5/9だから、BFの傾きは-5/9となる。 【2】

ii
前問からBFの傾きは-5/9。これをB(3、3)に放り込む。
3=-5/9×3+b
b=14/3 【4】

(ウ) 2.0%!!!
面積が等しいとなれば等積変形が頭をよぎるが、
求めるのはGの座標なので、点を移動するとうまくいかないような気がする…。
とりあえず、求められるところを洗い出す。

座標をもとに計算すると、四角形ADBFの面積が先に求まる。
△BDGは15cm2になる。
このあとで手詰まる人が多かったと思われる(;^ω^)

求めるGのx座標をsとおいて、G(s、-s)
長方形を描き、長方形の面積から等式の作成を試みる。

↑邪魔な線を消してます。
ここまで整理するのに時間かかるよ(*’ω’*)w
【長方形の面積=中にある4つの三角形の面積】
sがでる2つの三角形は、1辺の長さが(3+s)で等しい。
6(3+s)=(-1/3+s+3-s)×(3+s)×1/2+10+15
18+6s=8/3×(3+s)×1/2+25
14/3s=11
x=33/14
あれこれ練ったんですけど、これしか思い浮かばなかった…。
グラフが複雑で、辺の長さを調査するにも時間がかかるので、ここだけでもヘビー…。

@別解@
YAさん(@r21h238ya)から素晴らしい解法を頂きました(*´д`艸)
~~~
四角形ADBFと△DGBが等しくなるようにGを求める。
①とDBの交点をPとすると、
-x=9/5x+4/3
P(-6/7,6/7)

AからDBに垂線でR、GからDBに垂線でRとすると、
△AQP∽△GRPが得られる。

APの長さを求める。
AとPのx座標の距離は3-6/7=15/7
①は45°の傾きなので、1:√2より、AP=15√2/7

面積が等しくなるときの高さの比を求める。
AF:DB=1:2、AF//DBなので、
DAの延長線とBFの延長線の交点をDとすると、
△SDB∽△SAFとなり、面積比は4:1である。
つまり、2AQ(△SDBの高さ)×3/4=3/2AQの長さがGRになればよい

AQ:GR=2:3となるので、AP:GP=2:3

GP=15√2/7×3/2=45√2/14
1:√2を利用して、Gのx座標はPのx座標に+45/14をする。
-6/7+45/14=33/14
~~~
三角形BDGと四角形ADBFはDBを共通辺とするので、
DBを底辺とおいたときの高さを考えます。
①の傾きが45°なので、座標の距離を√2倍すれば出ますね(*’ω’*)
ADBFは台形なので、ちょいと工夫する必要があり、
上の解法では△SDBを利用して求めています。


大問5(確率)

(ア) 43.9%
条件が複雑や(ll゚д゚ll)
情報整理。
■ルール①
大の目…a。小の目…b
a>bのときは差、a≦bのときは和をnとする。
■ルール②
取るカードの和が①の結果nと同じにする。
取るカードの枚数はできるだけ多くする(取る数が同数なら最も大きい数をとる)。

5だけ残る→1・2・3・4を取る。
n=1+2+3+4=10
ルール①でn=10にするには、
(a、b)=(4、6)と(5、5)の2通り。
注意すべきは(6、4)だとa>bだから、n=6-4=2になってしまう。
2/36=1/18 【2】

(イ) 7.8%!
ここもむっずいわ~(´゚д゚`)
(a、b)の組合せより、取る
カードの組合せからnの値を考える。
最小が3なので、1と2は必ず取る
取るカードの組合せは、〔1・2〕〔1・2・4〕〔1・2・5〕〔1・2・4・5〕
〔1・2〕 n=3
(a、b)=(1、2)(6、3)(5、2)(4、1)
〔1・2・4〕 n=7
(a、b)=(1、6)(2、5)(3、4)
〔1・2・5〕 n=8
(a、b)=(2、6)(3、5)(4、4)
〔1・2・4・5〕 n=12
(a、b)=(6、6)
以上、11通り。 11/36
丁寧な場合分けと、条件に適合するよう調査。
1つでも過不足があれば失点する。

大問6(空間図形)

(ア) 73.0%
三角柱の表面積=底面積×2+側面積。
底面の三角形は3:4:5の直角三角形なので、AC=5cm
3×4×1/2×2+(3+4+5)×2
=36cm2 
【5】

(イ) 46.3%
断面の三角形の面積を求める。
△DBGの辺の長さを三平方を駆使して求める。

こうなる。DB=DGなので二等辺三角形。
あとは三平方で高さを出す→√11
2√2×√11÷2=√22cm2 
【4】

(ウ) 1.7%!!!
神奈川教育委員会は大問ごとに罠を仕掛けなければ気が済まないのか!(ノシ ‘ω’)ノシ バンバン
BCの最短距離→展開図で直線の作図。

ここから次の一手が難所。
BCを1辺とする直角三角形を強引に作る

垂線を右側に引く(右下をHとする)。
△DEFの角度でが90°だから、
右側の小さな直角三角形と相似。
斜辺をFCとして3:4:5を使うと上のようになる。
△CBHで三平方。
BC2=(8/5+2)2+(4+6/5)2
=(324+676)/25=1000/25=40
BC=√40=2√10cm
意気消沈した生徒は多いのでは…?

大問7(平面図形)

(ア) 77.5%
楽ちんちん(*’ω’*)♪
次の行から逆算すればいい。
ⅰ-【3】、ⅱ-【1】

(イ) 7.4%!
ユニークな出題形式。
Pを動かしたとき、2つの三角形の関係性を捉える。

常に△ABQ∽△PCGが成り立つ理由。
青がPが動く範囲。
円周角の定理と対頂角から、3つの角が常に等しくなる。
AB=CPのとき、1辺と両端角が等しくなるので合同になる。

AB=AQのとき。
△ABQは二等辺で底角が一緒。
対頂角と円周角で△PCQも一緒で二等辺。

本問の答えは、AB//CP
ダブル錯角とダブル円周角で4つの角が等しくなり、
ともに二等辺となる。

解答には「AB」を用いることが要求されている。
本問では辺の長さの情報がないので、角度が等しくなることを利用したい。
角度が等しくなる条件は平行線。
ABとどこが平行になればよいか…と考えていく。

おそらく、誤答で多くなるのは〔AB=BQ〕かと思われる。

再確認。青がPが動くところ。
Pがこの範囲を動くと、QはAC上を移動する
Qを移動させるとABとBQが等しくなるときがない!
AB=BQとなるときは、PがAに接するときだが、
問題文でPは『Aを除いた部分を動く』とあり、△ABQも形成されない。

(ウ) 2.4%!
ラストも計算処置が面倒くさい(*_*)

三角形のなかに直角三角形があるので△ABC内部で三平方。
CQをxとおく。

2-x2=72-(8-x)2
16x=40
x=5/2

AQ=8-5/2=11/2

△BQCで三平方。
BQ=5/2・√3

△ABQ∽△PCQ(2角が等しい)ので、
11/2×(5/2 )/(5/2・√3) ←連分数は5/2で約分できる。
=11/6・√3
方べきの定理を利用して【AQ×QC=BQ×QP】でも同じになる。
BP=5/2・√3+11/6・√3=13/3・√3cm

発案できても、立式と計算に手間がかかる問題が多すぎる。
上位校は難しい特色検査もやるんだし、
みんなが受ける1日目はもう少し易しくしてもいいのでは?
あるいは、発想さえできれば計算処理が楽になるなど、
試験時間と設問の負担を考慮したバランス感覚を神奈川教育委員会は養うべきだと思う(*’ω’*)w

7割以上得点できた生徒は全体の6%しかいない。
私学対策のごとく、手をつけるべき問題の取捨選択がカギになる。
自分がつまづいたら周りの人もだいたいてこずっているので、
『もともとこれは70点満点試験なんだ…
残りは一部の上位がおのおの取れそうなところを選択するために設置されたお飾り問題…』
と暗示をかけて前に進むしかない。

2019年度(神奈川)
社会…平均42.3点 理科…平均61.3点 英語…平均49.8点
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