2022年度　千葉県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均51.5点（前年比；－7.8点）

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大問１（小問集合）―60.8％

（１）①　96.6％
－２×３＋２
＝－６＋２
＝－４

②　88.9％
６（２/３ａ－３/２ｂ）－（ａ－３ｂ）
＝６×２/３ａ－６×３/２b－ａ＋３ｂ
＝４ａ－９ｂ－ａ＋３ｂ
＝３ａ－６ｂ

③　75.2％
（２√３－１）²
＝12－４√３＋１
＝13－４√３

（２）①　62.5％
横がｘｃｍ、縦が２ｘ＋３ｃｍなので、
長方形の面積はｘ（２ｘ＋３）ｃｍ²

②　17.9％！
ｘ（２ｘ＋３）＝７
２ｘ²＋３ｘ－７＝０
解の公式を適用。
ｘ＞０より、ｘ＝（－３＋√65）/４ｃｍ

（３）①　74.1％
値を昇順に並べ替えると、〔３・７・７・９・11・12・14・16〕。
８個の中央値（メジアン）は４番目と５番目の平均で10回。

②　19.1％！
高校から降りてきた箱ひげ図が登場。

中央値（第２四分位数Ｑ₂）が10回から９回に減っている。
９個の中央値は５番目。
前半の値が〔３・７・７・９〕だったので、ａ＞９だと中央値も９を超えてしまう。
→ａは９以下。

第１四分位数（Ｑ₁）は１～４番目の中央値で７回。
ａ＝６だとＱ₁は〔３・６・７・７〕の中央値6.5になってしまう。×
ａ＝７、８、９のときは中央値が７。〇
したがって、ａ＝７、８、９

（４）①　49.3％
素数とは、１と自分自身以外に約数をもたない数。（ただし１を除く）
【２・３・５・７・11・13・17・19】で８個。

②　60.3％
素数なので自力であてはめるしかない。
●２ａ＋ｂ＝２
無い。
●２ａ＋ｂ＝３
（ａ、ｂ）＝（１、１）
●２ａ＋ｂ＝５
（２、１）（１、３）
●２ａ＋ｂ＝７
（３、１）（２、３）（１、５）
●２ａ＋ｂ＝11
（５、１）（４、３）（３、５）
●２ａ＋ｂ＝13
（６、１）（５、３）（４、５）
●２ａ＋ｂ＝17
（６、５）
計13通り。
全体は６×６＝36通りだから、確率は13/36。

（５）ａ…74.1％、ｂ…67.1％
ｘ＝１、ｙ＝－１を代入すると、
－ａ－３＝２　…①
２ｂ－ａ＝－１　…②

①より、ａ＝－５
これを②に代入して、ｂ＝－３
ａ＝－５、ｂ＝－３

（６）①　66.1％

ｈ＝３Ｖ/Ｓ

②　51.4％
前問の式に代入すればいい。
底面積である正方形ＡＢＣＤは、４×４÷２＝８ｃｍ²
ｈ＝３×32/３÷８＝４ｃｍ

（７）　48.2％
作図問題。

方針は立てやすい。
①ＡＣの垂直二等分線でＡＣの中点を見つける。
②これとＢを結ぶ。この線上のどこかにＰがある。
③ＡＰ⊥ＢＰということは、Ａを通る垂線と②の交点がＰとなる。

大問２（関数）―47.6％

（１）　76.1％
Ｂ（５、－15）をｙ＝ａｘ²に放り込む。
－15＝25ａ
ａ＝－３/５

（２）　65.1％

ｙ＝１/５ｘ²にｘ＝５を代入して、Ａ（５、５）
Ａをｙ軸について対称移動したＣ（－５、５）
Ｃ（－５、５）⇒Ｂ（５、－15）
右に10、下に20だから、傾きは－20/10＝－２
Ｃから右に５、下に10移動して、切片は５－10＝－５
ｙ＝－２ｘ－５

（３）　1.5％!!!
艱難辛苦(ヾﾉ･ω･`)

対角線の交点をＰとする。
Ｐは長方形の重心にあたり、対角線ＢＣの中点で（０、－５）。
（＊前問の式の切片にあたる）
すべての頂点はＰＣを半径とする同一円周上にある。
つまり、長方形ＣＥＢＦは回転の中心をＰとして長方形ＡＣＤＢを回転移動させた図形。
対角線ＥＦの切片も－５である。

設定がシンプルゆえ、使える情報といえば長方形の長さくらいしかない(;`ω´)
そのなかで特に気になるのがナナメの10(CE)と20(EB)。

中学数学の奥義は三平方と相似。
長方形ＣＥＢＦを大きな長方形で囲うと見えてくるんじゃないでしょうか。
●＋×＝90°の角度調査で、ＣＥとＥＢを斜辺とする△ＣＥＧと△ＥＢＨは２角相等で∽！
ＧＣ＝ｘとすると、ＨＢ＝ｘ＋10
相似比はＣＥ：ＥＢ＝10：20＝１：２なので、ＥＨ＝２ｘ

△ＥＢＨで三平方。
（２ｘ）²＋（ｘ＋10）²＝20²
４ｘ²＋ｘ²＋20ｘ＋100＝400
５ｘ²＋20ｘ－300＝０
ｘ²＋４ｘ－60
＝（ｘ＋10）（ｘ－６）＝０
ｘは長さなのでｘ＞０より、ｘ＝６

ＧＣ＝６、ＥＨ＝６×２＝12
ＧＥ＝20－12＝８
Ｃ（－５、５）から左に６、下に８移動してＥ（－11、－３）。
ＥからＰまでは右に11、下に２だから、傾きは－２/11。
したがって、ＥＦはｙ＝－２/11ｘ－５
大変｡･(つд`｡)･｡

＠別解＠

△ＡＢＣと△ＥＢＣは合同な長方形の半分で合同だから、
ＢＣを対称の軸とするとＡとＥは対称の点にある。
ということは、ＡＥとＢＣは垂直に交わっている。
ＢＣの傾きは－２。
直交する２直線の傾きの積は－１なので、ＡＥの傾きは１/２。

ＣＤとｘ軸の交点をＩとする。
ＣＡ＝10、ＣＩ＝５でＩＡの傾きも１/２だから、ＩはＡＥ上の点である。

ＧＥとｘ軸の交点をＪとする。
ＪＥ＝ｘとすると、ＪＩ＝ＧＣ＝２ｘ
ＧＪ＝ＣＩ＝５

△ＧＣＥで三平方。
（２ｘ）²＋（ｘ＋５）²＝10²
５ｘ²＋10ｘ－75＝０
ｘ²＋２ｘ－15
＝（ｘ＋５）（ｘ－３）＝０
ｘ＞０だから、ｘ＝３
ＥはＣから左に６、下に８の点だとわかります。

大問３（平面図形）―37.4％

（１）　78.6％
ＡＩとＤＨを１辺とする三角形の合同を証明すればいい。
ａ…ア、ｂ…エ、ｃ…合同

（２）６点―28.2％！、３点―8.3％、無答―27.4％
ＡＩ＝ＤＨの証明。
まず、前問で示した△ＡＥＩ≡△ＤＥＨを指摘する。

仮定より、ＡＥ＝ＤＥ
対頂角で、∠ＡＥＩ＝∠ＤＥＨ
ＡＣ//ＦＤの錯角で、∠ＩＡＥ＝∠ＨＤＥ
１辺と両端角が等しいので、△ＡＥＩ≡△ＤＥＨ
対応する辺は等しいから、ＡＩ＝ＤＨ

（３）　5.5％!!

△ＡＥＩの１辺で最も短いＥＩを①とする。
△ＡＥＩ∽△ＡＤＣより、ＤＣ＝②
仮定から、ＢＤ＝②×３＝⑥

△ＡＧＩ∽△ＡＢＣより、ＧＩ＝⑧÷２＝④

先ほどの合同から、ＨＥ＝ＩＥ＝①
ＧＨ＝④－①－①＝②
△ＡＥＩと四角形ＢＤＨＧはＡＥ＝ＥＤより高さの比が同じ→高さ共通。
すなわち、底辺の比が面積比になる。
△ＡＥＩ：四角形ＢＤＨＧ＝①：②＋⑥（上底＋下底）＝１：８

＠余談＠
四角形ＤＣＩＨは２組の対辺が平行だから平行四辺形。
ＨＩ＝ＤＣ＝②からもＧＨ＝④－②＝②が導ける。

大問４（数量変化）―33.8％

（１）ａ…86.5％、ｂ…57.1％
ＱがはじめてＣに到着するのは、90÷９＝10秒後

弧ＡＢと弧ＣＤの距離の比は60：90＝②：③
距離が３/２倍長くなる。
インコースと同じ時間でアウトコースを回るには速さを３/２倍する。
（*時間一定の場合、距離の比＝速さの比）
４×３/２＝秒速６ｃｍ
ａ…エ、ｂ…イ

（２）　28.9％！

Ｑは10秒で片道を行く。０≦ｘ≦30の指定に注意！

（３）　17.5％！

ＱとＲが重なるとき、Ｏ・Ｐ・Ｑは一直線上に並ぶ。
ＱとＲは90ｃｍ離れ、１秒あたり９＋６＝15ｃｍずつ近づいていくから、
90÷15＝６秒後

（４）　8.1％!!
Ｐは往復30秒、Ｑは往復20秒。
最小公倍数の60秒ごとにＰとＱはスタート地点へ同時に戻る。

先ほどのグラフで、Ｐをアウトコースに移動させたＲを描く。
ＱとＲが重なった地点で一直線に並ぶので、交点を数えると５回。

（５）　4.4％!!
７年前の大問５で似たようなものが出ている。

60の倍数ごとで初期状態に戻るので120秒後から考える。
ここから残りの24秒進める。

Ｑは片道10秒だからＤから４秒、Ｐは片道15秒だからＢから９秒進んだところ。
おのおの片道の時間で180°進むので、
∠ＱＯＤ＝180×４/10＝72°
∠ＰＯＤ＝180×９/15＝108°
よって、∠ＰＯＱ＝108－72＝36°

＠別解＠

見にくいですけど…グラフから20秒後のＱとＲは30ｃｍ離れている。
20～30秒後の10秒間で差が０になる。
30秒後から６秒手前の24秒後では、30×６/10＝18ｃｍ離れている。
弧ＱＲ＝18ｃｍ、弧ＣＤ＝90ｃｍなので、180×18/90＝36°

＠2022年度千葉解説＠
社会…平均56.3点　理科…平均52.7点　英語…平均58.7点　国語…平均47.7点
思考力を問う問題…数英国の３教科。来年度は千葉・千葉東・東葛飾が対象。
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