2019年度　埼玉県公立高校過去問【数学】解説

平均41.7点

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大問１（小問集合）

（１）　95.4％
－２ａ＋５ａ＝３ａ

（２）　93.1％
（－８）÷（－４）－１
＝２－１＝１

（３）　67.9％
３ｘ²÷（－ｙ²）×２ｘｙ³
＝－６³ｙ

（４）　85.5％
１０/√５－√４５
＝２√５－３√５＝－√５

（５）　89.9％
ｘ²＋６ｘ－２７
＝（ｘ＋９）（ｘ－３）

（６）　85.3％
連立方程式。①の式を②に代入すると、
ｘ－２（５－３ｘ）＝４
ｘ－１０＋６ｘ＝４
７ｘ＝１４
ｘ＝２
①に代入、ｙ＝５－３×２＝－１

（７）　80.6％
因数分解ができないので解の公式を適用。
ｘ＝{－（－３）±√（－３）²－４・２・（－１）］/（２・２）
＝（３±√１７）/４

（８）　53.8％
傾きは、右に６、上に３→１/２
あとは、ｙ＝１/２ｘ＋ｂに放り込んで切片を求める。
０＝１/２×（－２）＋ｂ
ｂ＝１
ｙ＝１/２ｘ＋１

（９）　67.3％

↑ここに着目する。
こういう蝶々型は先端の角の和が等しい（対頂角で相殺できるから）。
２５＋６０＝ｘ＋４５
ｘ＝４０°

（10）　46.8％（一部正答17.1％）
関数の正誤判定。
ア：代入してみると×！
イ：左右対称なのでｙ軸について対称○
ウ：最小値はｘ＝０のとき、ｙ＝０。ｙ＝ａｘ²のグラフは原点を通る。
ｙ変域は０≦ｙ≦４。×！
エ：（４²－２²）/（４－２）＝６○
ｙ＝ａｘ²のグラフにおいて、ｐ→ｑの変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）だから、
１（２＋４）＝６でもいける。
オ：ｘが減るとｙも増加。×！

（11）①　32.1％！
赤い布をｘ枚使ったとする。
最初の布は５０ｃｍ。２枚目以降は縫い目を引いた４５ｃｍずつ増えていく。
合計で５００ｃｍになればいい。
５０＋４５（ｎ－１）＝５００
ｘ＝１１　→１１枚

〔全体の長さ－縫い目の合計＝５００〕でも可。
５０ｎ－５（ｎ－１）＝５００
ｎ＝１１　　同じだね！(p_-)

②　0.6％!!!（一部正答3.2％、無答54.9％！）
記述式。
公式解答ではいきなり45ｘ＋25ｙ＋５＝500とある。
これは、つなぎ目分の５ｃｍを初めにカウントしておいて、
それ以降は赤を１枚たすと４５ｃｍ、白を１枚たすと２５ｃｍのびるから。
４５ｘ＋２５ｙ＋５＝500
４５ｘ＋２５ｙ＝495
９ｘ＋５ｙ＝９９
式が１つしかない。いわゆる不定方程式で地道に代入する。
赤の布は500÷50＝10で白い布も使うから、０＜ｘ＜１０となる。
（ｘ、ｙ）＝（１、１８）（６、９）

不定方程式の攻略が厄介。
コツとしては、ｘ＝１をいれると、5ｙ＝９０とキリ良くなるので、
つぎに５の倍数をつくるには、ｘに１＋５＝６を代入する。

＠公式解答の別解より＠
45ｘ＋25ｙ＋５＝500をｘについて解き、
ｘ＝11－５/９ｙ
ｘは自然数なので、ｙは９倍数でなければならない。
（ｘ、ｙ）＝（１、１８）（６、９）

大問２（小問集合）

（１）　27.7％！
標本調査。
３０個の抽出で、白：オレンジ＝２４：６＝４：１。
この割合は母集団も変わらないとする。
最初の白は、５０×４/１＝２００個

（２）　10.4％！

これが見えたらしめたもの。
６×６×１/２×（６×２/３）×１/３＝２４ｃｍ³

（３）　21.4％！（一部正答16.2％）
105°の作図。
１０５＝４５＋６０
公式解答では、Ａを通る直線ＡＢの垂線をひき、その２等分線を作成（４５）。
左側に正三角形をつくって６０を足す。
コンパスでつくりやすい角度は垂直の９０°、正三角形の６０°
これらの二等分線で４５°と３０°
４つをうまく組合せて１０５を作る。
遠回りだが、７５（＝60＋30÷2など）を作って１０５（＝180－75）もできる。

（４）　9.8％!!（一部正答30.3％）
平行四辺形の証明。
平行四辺形であるための５つの条件を覚えているかな？

問題集で見かけた人もいると思う。
使うべきは『対角線が各々の中点で交わる』。
★－〇＝△を丁寧に記述すること！

大問３（関数）

（１）　45.4％

２×３×１/２＝３ｃｍ²
Ｄのｙ座標いらなかった。

（２）　2.0％!!
△ＡＤＣ：△ＣＤＢ＝４：１
ＡＣ：ＣＢ＝４：１
このあとが手詰まる。
ＡとＢはｙ＝１/２ｘ²とｙ＝ａｘ＋２の交点にある。
Ｂのｘ座標をｓとおいて座標をだす。
Ａのｘ座標は－４ｓ。

こうなる。
ここからｙ座標をいじる。
２つのグラフの交点からｙ座標で等式を作る。
〔Ａ〕
８ｓ²＝－４ｓａ＋２
８ｓ²＋４ｓａ－２＝０…①
〔Ｂ〕
１/２ｓ²＝ｓａ＋２
ｓ²－２ｓａ－４＝０…②

連立方程式の要領で①－②×２
８ｓ²＋４ａｓ－２＝０
＋)２ｓ²－４ａｓ－８＝０
10ｓ²　　　　－10＝０
ｓ＝１
Ｂ（１、１/２）
Ｃ→Ｂは右に１、下に３/２
よって、傾きａ＝－３/２

＠公式解答より＠

△ＡＤＣ：△ＣＤＢ＝４：１
ＡＣ：ＣＢ＝4：１
上のような補助線をひいて、Ｅ、Ｆをつくる。
△ＡＣＥ∽△ＢＣＦ
ＥＣ：ＣＦ＝４：１

Ｂのｘ座標をｔとすると、Ａのｘ座標が－４ｔ
Ｅ（０、８ｔ²）　Ｆ（０、１/２ｔ²）
ＥＣ（８ｔ²－２）：ＣＦ（２－１/２ｔ²）＝４：１
ｔ＝±１
ｔ＞０より、ｔ＝１
Ａ（－４、８）となり、ａ＝－３/２

大問４（平面図形）

（１）　35.3％
直径ＡＢに対する円周角ＡＰＢは９０°
∠ＡＢＰ＝６０°なので、
△ＰＡＢは〔30°－60°－90°〕→１：２：√３の直角三角形
ＡＰ＝６×√３/２＝３√３
ＰＭ＝３√３×１/３＝√３ｃｍ

（２）①　0.3％!!!
記述式。
ＢＱを折り目としてＰとＯが重なるということは、
ＢＱを対称の軸として線対称の関係にある。
これを示すには△ＯＢＰに注目する。以下、公式解答を参考。

∠ＰＢＯ＝６０°と半径を手がかりに△ＯＢＰは正三角形。
△ＰＢＭは前問よりＰＭ＝√３、ＢＰ＝３、∠ＢＰＭ＝９０°
△ＰＢＭは１：２：√３の直角三角形。
∠ＰＢＭ＝３０°
∠ＰＢＯ＝６０°なので、ＱＢは∠ＰＢＯの二等分線となり、
△ＯＢＰは正三角形だから、底辺であるＯＰを垂直に二等分する。
公式解答の文章は飛び飛びな印象がある(;’∀’)
どの程度の指摘で足りるか迷う。

②　0.3％!!!
ラストの求積。幾何的な発想力が求められる。
実は正三角形が３つある。

なんとなくＭがＯの真上にあるのでは？と感じた人もいたと思う。
ＡＱとＱＯをひく。
△ＯＢＱは半径から二等辺。ＯＲは底辺ＢＱを垂直に二等分する。
△ＯＲＱは30°－60°－90°の直角三角形。
これをもとに角度を調べていくと、△ＡＯＱも△ＯＰＱも正三角形になる。
図形全体が線対称で、ＱＰ//ＡＢとなる。

等積変形で△ＯＱＰ＝△ＢＱＰとなる。

四角形ＱＯＰＭ（赤）＝△ＱＯＰ－△ＱＭＰ
△ＭＢＰ（黄）＝△ＱＢＰ－△ＱＭＰ
△ＱＯＰと△ＱＢＰから、共通する△ＱＭＰをひくので、
四角形ＱＯＰＭ＝△ＭＢＰとなる。
つまり、求積すべきところは、６０°の扇型から△ＭＢＰ（黄）をひけばいい。

３×３×π×１/６－３×√３×１/２
＝３/２π－３/２・√３ｃｍ²

＠別解＠

まとめて等積変形しなくても、四角形ＱＯＢＰは平行四辺形で、
Ｒは対角線ＯＰとＱＢの中点だから、△ＱＯＲと△ＢＰＲは合同。
ここから左の面積を右に移して、△ＭＢＰとしてもいい。

＠別解２＠

移動させなくても分割で攻略もできる。
Ｍは正三角形ＱＯＰの重心にあるので、△ＱＭＰは正三角形の３分の１。
扇型から正三角形の３分の２を引けばいい。

＠余談＠

正六角形の分割。
中学受験では馴染みのある図形で、覚えておくと便利かも(‘ω’)
弧ＱＰは円周の６分の１で、弦ＱＰは直径と平行かつ半分の長さになる。
サボの解法はこれがもとになっています。

さらにいじってみると、一辺が√３の正三角形が１２個できる。
３×３×π（円）－√３×３/２×１/２×１２（中のヤツ）
＝９π－９√３
これを６で割る。
（９π－９√３）÷６＝３/２π－３/２・√３ｃｍ²

＠公式解答より＠

2019年度（埼玉）　社会…平均59.3点　理科…平均43.8点　英語…平均47.1点
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